По кругу написано двадцать целых чисел, сумма которых равна 5. Лёня посчитал и в...

August 2022 1 196 Report

По кругу написано двадцать целых чисел, сумма которых равна 5. Лёня посчитал и выписал на бумажку все возможные суммы из десяти подряд идущих чисел (всего двадцать сумм). Наибольшая из этих сумм оказалась равна 8. Какое наибольшее количество различных чисел может быть записано у Лёни?

Решить, пожалуйста, с пояснением

Answers & Comments

al4293189

Ответ:

$12$ (это правильно, я тоже Сириус решаю)

Пошаговое объяснение:

Пронумеруем числа $1$ , $2$ , $3$ , ..., $20$

Пусть $i$ - ая группа состоит из чисел с номерами $(i-1)\mod20+1$ , $i\mod20+1$ , $(i+1)\mod20+1$ , ..., $(i+8)\mod20+1$ (здесь $\mod$ - взятие остатка, $j$ - ое число в $i$ - ой группе имеет номер $(i+j-2)\mod20+1$ , $1\leqslant j \leqslant 10$ , $1 \leqslant i \leqslant 20$ ). К примеру:

1-ая группа: числа $1$ , $2$ , ..., $10$

2-ая группа: числа $2$ , $3$ , ..., $11$

...

20-ая группа: числа $20$ , $1$ , ..., $9$

Пусть $a_i$ - сумма чисел в $i$ - ой группе. Поскольку все числа целые, их сумма будет также целая, значит, $\forall i\in[1,~20]$ : $a_i\in\mathbb{Z}$ . Заметим, что сумма всех чисел является суммой чисел в $i$ -ой и в $(i+9)\mod20+1$ , значит, $a_i+a_{(i+9)\mod20~+1}=5$ . Если $a_k=8$ , то есть $\forall i\in [1,~k)\cup(k,20]$ : $a_i \leqslant a_k$ ⇒ $-a_i \geqslant -a_k\Rightarrow 5-a_i \geqslant5-a_k$ . Поскольку $5-a_i=a_{(i+9)\mod20~+1}$ и $5-a_k=a_{(k+9)\mod20~+1}$ , постольку $a_{(i+9)\mod20~+1}\geqslant a_{(k+9)\mod 20 ~+1}$ . Поэтому $a_{(k+9)\mod20~+1}$ - минимальное число (все остальные числа не меньше $a_{(k+9)\mod20~+1}$ (а именно все, потому что в виде $(i+9)\mod20~+1$ представляются все числа от 1 до 20 при $i\in[1,~20]$ ) ). А также $a_{(k+9)\mod20~+1} =5-a_k=5-8=-3$ . В итоге $\forall i\in[1,~20]$ : $a_{(k+9)\mod20~+1}\leqslant a_i \leqslant a_k \Leftrightarrow -3\leqslant a_i \leqslant 8$ . В итоге, поскольку $\forall i\in[1,~20]$ : $a_i\in \mathbb{Z} ~\wedge~a_i\in[-3,~8]$ , у $a_i$ есть $8-(-3)+1=12$ вариантов значения. Значит, не более $12$ сумм различны. Для полноты картины стоило бы привести пример, но это слишком просто.

7 votes Thanks 12

kukushka2281337996 Спасибо, решение очень понятно

Answers & Comments

Однажды Юра решил переехать замерзшую речку на снегоходе, имеющем две боковые лы...

В городе есть водоём. Одна из труб может заполнить его за 4 часа, вторая — за 6 ...

с2. Решите подробно, пожалуйста. Мне важно именно решение...

Найди значение алгебраического выражения 3x−ay+bz, если a=3c, b=13c³ и x=5c³+2, ...

Найди значение выражения при d=−0,12, предварительно упростив его: (d−8) ⋅ (d+4)...

Найди сумму и разность многочленов 0,2a² +0,01b² и 0,17a² −0,08b²...

Открытый сосуд с керосином имеет сбоку отверстие, заткнутое цилиндрической пробк...

(x^2 -2x -3)^2 = x^2 - 2x +17 - решите методом замены переменной...

с. Они начинают движение одновременно из одной точки. Собака убегает от мальчика...

Помогите с решением...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social