Пусть НОД(u²+v²,uv)>1, и p - общий простой делитель этих выражений. Поскольку u и v взаимно простые, у них нет общих делителей (кроме 1), поэтому p - делитель одного из них, но не делитель другого. Пусть, для определенности, u делится на p, а v не делится на p. Поскольку
u²+v² делится на p и u (а тогда и u²) делится на p, то и их разность
(u²+v²)-u²=v² делится на p, а поскольку p простое число, v также делится на p. Полученное противоречие доказывает утверждение.
1 votes Thanks 2
Hapрygamer
Почему u^2+v^2 делится на p, понимаю, но почему на u и u^2?
yugolovin
Если произведение двух чисел делится на простое число, одно из них обязано делиться на него. Это следует из так называемой основной теоремы арифметики (каждое натуральное число может быть разложено (и единственным образом - с точностью до перестановки множителей) на простые множители)
Hapрygamer
Но ведь тут сумма квадратов. А u=p*некое k.
yugolovin
Мы предположили, что u^2+v^2 и uv имеют общие делители, и p - один из них. Итак, uv делится на p, а тогда u или v делится на p
Hapрygamer
Ну вот да, u делится на p, а v - нет. И u^2 + v^2 кратно p, но почему кратно u? 34 кратно 2, но не кратно 6
Answers & Comments
Verified answer
Пусть НОД(u²+v²,uv)>1, и p - общий простой делитель этих выражений. Поскольку u и v взаимно простые, у них нет общих делителей (кроме 1), поэтому p - делитель одного из них, но не делитель другого. Пусть, для определенности, u делится на p, а v не делится на p. Поскольку
u²+v² делится на p и u (а тогда и u²) делится на p, то и их разность
(u²+v²)-u²=v² делится на p, а поскольку p простое число, v также делится на p. Полученное противоречие доказывает утверждение.