Verified answer

task/30462032

2. Решить уравнение 3x² - 2|x| + 2 = 2 / (3x²- 2|x| +1 )

решение  

Замена : t  = 3x²- 2|x| +1 = 3(|x| - 1/3)² + 2/3  ≥ 2/3 ,   x² =  |x|²

3x²-2|x| +2 =2/(3x²-2|x| +1) ⇔t+1 =2/t ⇔ t²+t -2 =0⇔ [ t = 1 ; t = - 2.  

* * * t= - 2  < 2/3 → посторонний корень  * * *   t = 1

3x²- 2|x| +1 =1 ⇔3|x|²-2|x| =0 ⇔3|x|*(|x| -2/3) =0 ⇔ [ |x| =0 ; |x| =2/3.

ответ: - 2/3 ; 0 ; 2/3 .                     * * *  0 ;  ±2/3 * * *

5. Решить  неравенство ( 2(x-1)² -3|x-1| +3 ) / ( (x-1)²+1 ) ≥ 1 .

решение  

( 2(x - 1)²- 3|x - 1| +3 ) /( (x - 1)²+1 ) ≥ 1 ⇔2(x - 1)²- 3|x -1| + 3 ≥ (x-1)² + 1  ⇔              (x-1)²-3|x-1| +2 ≥ 0 ⇔ |x-1|²- 3|x-1| +2 ≥ 0 ⇔ ( |x-1| - 1 )*(  |x-1| - 2 ) ≥ 0 ⇔               [ |x-1|  ≥ 2 ; |x-1| ≤ 1 . ⇔ [ |x-1|  ≥ 2 ; |x-1| ≤ 1.⇔[ x-1 ≤ -2 ; x-1 ≥ 2 ; -1 ≤ x-1  ≤ 1 . ⇔  [ x ≤ - 1 ; x ≥ 3 ;   0 ≤ x  ≤ 2 .      

ответ : x ∈( -∞; -1] ∪ [ 0 ; 2] ∪ [3 ; ∞) .

6.  Найдите  все значения параметра  b , при  которых  уравнение

( x² - (2b+3)x +b² +3b) / (x² - 9) = 0 имеет ровно один корень

 решение  

(x²-(2b+3)x +b²+3b) / (x²- 9) =0⇔( x²-(2b+3)x +b²+3b) / (x+3)(x-3) = 0

ОДЗ : x  ≠ ± 3  

x²- (2b+3)x +b² +3b = 0 ⇔ x² - (b+b+3)x +b(b+3) =0 ⇒ x₁ =b; x₂=b+3. Получается : x²- (2b+3)x +b² +3b =0 при любых  значениях параметра b имеет решения и они разные (разница 3).  Значит  исходное уравнение будет иметь ровно один корень x₀ , если один из корней уравнения x²- (2b+3)x +b² +3b = 0   будет  - 3 или  3 .

Если :

x₁= b = - 3  , то   x₀ = x₂ = b+ 3 = 0

x₁= b =  3  ,  то   x₀ = x₂ = b + 3 = 6

x₂=b +3 = - 3 , т.е. при  b = - 6 ,то  x₀= x₁ = b  = - 6

x₂= b +3 =  3  , т.е.при b =  0 , то  x₀ = x₁ = b = 0

ответ :  { - 6 ; - 3 ;  0 ; 3 }