Подскажите, правильно ли я доказываю что это паралаелограм?

Дано: α || β; ABCD - Параллелограмм.
Доказать : A1B1C1D1 - Параллелограмм..

Мое решение:
Поскольку точки A, B, C, D принадлежат плоскости α, то в последствии аксиом стереометрии (если две точки прямой принадлежат даной плоскости то вся прямая принадлежит даной плоскости) прямые которые проходят через точки A и B, A и D, C и B, C и D принадлежат плоскости α. Поскольку прямые AD и DC, AB и BC пересекаются, и так как плоскость α || β, то по признаку паралельности плоскостей (обратному, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны) то AD || A1D1, DC || D1C1, AB || A1B1, BC || B1B1. А поскольку ABCD -парелелограмм, и AB || CD, AD || BC, то соответственно A1B1 || D1C1 и B1C1 || A1D1. По признаку паралелограма, A1B1C1D1 - Параллелограмм.