Verified answer

1) Объём конуса V = (1/3)π*R²*h, где R и h - радиус основания и высота конуса.  

По теореме Пифагора, R² + h²=L², откуда R² = (L²- h²) м².  

Тогда V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.  

Производная V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²).  

Приравнивая её к нулю, приходим к уравнению (π/3)*( L² - 3h²) = 0.  

Нулю приравниваем второе выражение в скобках.

Отсюда находим h = √(( L²)/3) = L/√3 = 28,2/√3  ≈ 16,28128 см.

Так как значение h положительно, то найденная точка h= (L/√3)  является точкой максимума функции V(h).

Подставим значение h= (L/√3) в уравнение объёма:

V = (π/3)*( L²*(L/√3) - (L/√3)³) = (2πL3)/(9√3).

Значение Vmax = (2π*28,23)/(9/√3) ≈ 9039,0764  cм³.  

Ответ: 9039,0764  cм³.

2) Площадь бака S = πR² + 2 πRh.

Выразим h через объём: V= πR²h, откуда h = V/πR².

Заменим h в формуле площади:  

S = πR² + 2πR(V/πR²) = πR² + (2V/R).

Находим производную функции площади по R²:

S’ = 2πR - (2V/R2) и приравниваем нулю.

2πR + (2V/R2) = 0, откуда находим  R = ³√(V/π) = ³√(17,576π/π) = 2,6 см.

Ответ: S = (π*2,62) + (2*17,576π/2,6) = 63,7115 кв.ед.