Verified answer

1)а) Даны векторы a(3; -2; -4). b=(-4; 4; -3).

Находим c = 2a - 4b.

c = (6; -4; -8) - (-16; 16; -12) = (22; -20; 4).

d = a - 2b.

d = (3; -2; -4) - (-8; 8; -6) = (11; -10; 2).

Да, векторы c и d коллинеарные, так как координаты пропорциональны).

б) Вычислим модуль вектора 2c - 3d.

2c = (44; -40; 8), 3d = (33; -30; 6).

Получаем: 2c - 3d =  (44 - 33; -40 - (-30); 8 - 6) = (11; -10; 2).

Модуль равен √(11² + (-10)² + 2²) = √(121 + 100 + 4) = √225 = 15.

2)а) Даны вершины параллелограмма А(1; 8; -2), B(-5; 4; -3), C(1; -2; 3).

Вектор ВA равен вектору CD, поэтому координаты точки D равны:

D = C + BA.

Находим вектор ВA = (1-(-5); 8-4; -2-(-3)) = (6; 4; 1).

Тогда D =  (1+6;-2+4; 3+1) = (7; 2; 4).

Ответ: точка D(7; 2; 4).

б) Пусть искомая точка будет E(0.0.z).

Расстояние между двумя точками: d = √((x1-x2)²+(y1-y2)²+(z-z2)²).

Нам достаточно найти квадрат расстояния.

BE²=4²+(-5)2+(z-(-5))² = 16 + 25 + z2 + 10z + 25 = z2 + 10z + 66.

CE²=(-2)²+1²+(z-1)² = 4 + 1 + z2 - 2z + 1 = z2 - 2z + 6.

BE²=CE².

z2 + 10z + 66 = z2 - 2z + 6.

12z =-60, z = -60/12 = -5.

Искомая точка (0; 0; -5)

Проверка:

BE² = 25-50+66 = 41.

CE²= 25+10+6 = 41. Верно.

3) Признаки квадрата - равенство сторон и диагоналей.

Точка А   Точка В   Точка С   Точка D

X Y Z       X Y Z      X Y Z       X Y Z

5 -3 2       6 -1 0       4 -11 -11       3 -13 -9

  Стороны квадрата

Вектор АВ      Вектор ВС     Вектор CD       Вектор АD

X   Y   Z            X    Y   Z            X   Y   Z          X   Y   Z

1    2   -2          -2    -10  -11            -1   -2   2           -2   -10  -11

Модуль√9=3 Модуль√225=15 Модуль √9= 3 Модуль √225=15

   Диагонали квадрата        

  Вектор АC   Вектор ВD      

  X Y Z              X Y Z    

  -1 -8 -13              -3 -12 -9    

  Модуль √234=15,29705854 Модуль √234=15,29705854

Как видим, признаки квадрата выдержаны, значит, ABCD - квадрат.