Verified answer

1-ый случай: точки M и К находятся внутри квадрата

BM = KM - отрезки, опирающиеся на равные дуги, ∠ВАМ = ∠КАМ = 45°

∠А = 90°  ⇒  ВК - диаметр окружности  ⇒  ∠ВМК = 90°

∠КМЕ = 90° - ∠ВМЕ = ∠МВЕ  ⇒  ΔКМН = ΔВМЕ по гипотенузе и острому углу  ⇒  МН = ВЕ

ВЕ - высота прямоугольного равнобедренного ΔАВС

МН = ВЕ = АС/2 = √2/2

2-ой случай: точки М и К находятся левее от квадрата

∠ВАК = 90°  ⇒  АК - диаметр окружности ⇒ ∠КМА = 90°

∠ВАС = ∠САD = ∠KAM = 45° - как вертикальные углы

∠КАМ = ∠КВМ = 45° - углы, опирающиеся на общую дугу

ΔКВМ - прямоугольный и равнобедренный ⇒ КМ = ВМ

∠МКН = 90° - ∠КМН = ∠ВМЕ ⇒ ΔКАН = ΔВМЕ по гипотенузе и острому углу ⇒ МН = ВЕ = √2/2

3-ий случай: точки М и К находятся правее от квадрата

ВМ = МК - отрезки, опирающиеся на равные дуги, ∠ВАС = ∠CAD = 45°

∠А = 90°  ⇒  ВК - диаметр окружности ⇒ ∠ВМК = 90°

∠МКН = 90° - ∠КМН = ∠ВМЕ ⇒ ΔМКН = ΔВМЕ по гипотенузе и острому углу ⇒ МН = ВЕ = √2/2

Ответ: √2/2