√(1 - 4x) + 2 = √(x^2 - 6x + 9) √(1 - 4x) + 2 = √(x - 3)^2 = |x - 3| Область определения 1 - 4x >= 0 x <= 1/4 < 3 При x < 3 будет |x - 3| = 3 - x √(1 - 4x) = 3 - x - 2 = 1 - x Возводим всё в квадрат 1 - 4x = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 x^2 + 2x = 0 x1 = 0 - подходит x2 = -2 - подходит
1) а) √(x + 1) = x - 5 Область определения x >= -1 Корень арифметический, то есть неотрицательный, поэтому x - 5 >= 0; x >= 5 Возводим всё в квадрат x + 1 = (x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25 x^2 - 11x + 24 = 0 (x - 3)(x - 8) = 0 По области определения x >= 5, поэтому подходит только x = 8
б) √(x - 1) = x - 7 Корень арифметический, поэтому x >= 7 Возводим всё в квадрат x - 1 = (x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49 x^2 - 15x + 50 = 0 (x - 5)(x - 10) = 0 По области определения x >= 7 подходит только x = 10
в) √(x + 1) = 2x + 1 Корень арифметический, поэтому x >= -1/2 Возводим всё в квадрат x + 1 = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 4x^2 + 5x = 0 x1 = 0 - подходит x2 = -4/5 = -8/10 < -5/10 - не подходит x = 0
д) √(17 + 2x - 3x^2) = x + 1 Область определения -3x^2 + 2x + 17 >= 0 D = 2^2 - 4(-3)*17 = 4 + 204 = 206 x1 = (-2 - √206)/(-6) = (2 + √206)/6 ~ 2,72 x2 = (-2 + √206)/(-6) = (2 - √206)/6 ~ -2,06 Левая часть неотрицательна при x ∈ [x2; x1] Корень арифметический, поэтому x >= -1 Область определения x ∈ [-1; (2 + √206)/6] Возводим всё в квадрат 17 + 2x - 3x^2 = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 4x^2 - 16 = 4(x - 2)(x + 2) = 0 Подходит только x = 2
5) б) √(x + 3) = x - 1 Корень арифметический, поэтому x >= 1 Возводим всё в квадрат x + 3 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 x^2 - 3x - 2 = 0 D = 3^2 - 4*(-2) = 9 + 8 = 17 x1 = (3 - √17)/2 < 0 - не подходит x2 = (3 + √17)/2 > 1 - подходит
в) √(5 - x) + √(x - 6) = x Область определения: { 5 - x >= 0; x <= 5 { x - 6 >= 0; x >= 6 Эта система решений не имеет, и само уравнение тоже.
Answers & Comments
Verified answer
√(1 - 4x) + 2 = √(x^2 - 6x + 9)√(1 - 4x) + 2 = √(x - 3)^2 = |x - 3|
Область определения
1 - 4x >= 0
x <= 1/4 < 3
При x < 3 будет |x - 3| = 3 - x
√(1 - 4x) = 3 - x - 2 = 1 - x
Возводим всё в квадрат
1 - 4x = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
x^2 + 2x = 0
x1 = 0 - подходит
x2 = -2 - подходит
1) а) √(x + 1) = x - 5
Область определения x >= -1
Корень арифметический, то есть неотрицательный, поэтому
x - 5 >= 0; x >= 5
Возводим всё в квадрат
x + 1 = (x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25
x^2 - 11x + 24 = 0
(x - 3)(x - 8) = 0
По области определения x >= 5, поэтому подходит только
x = 8
б) √(x - 1) = x - 7
Корень арифметический, поэтому x >= 7
Возводим всё в квадрат
x - 1 = (x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49
x^2 - 15x + 50 = 0
(x - 5)(x - 10) = 0
По области определения x >= 7 подходит только x = 10
в) √(x + 1) = 2x + 1
Корень арифметический, поэтому x >= -1/2
Возводим всё в квадрат
x + 1 = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
4x^2 + 5x = 0
x1 = 0 - подходит
x2 = -4/5 = -8/10 < -5/10 - не подходит
x = 0
д) √(17 + 2x - 3x^2) = x + 1
Область определения
-3x^2 + 2x + 17 >= 0
D = 2^2 - 4(-3)*17 = 4 + 204 = 206
x1 = (-2 - √206)/(-6) = (2 + √206)/6 ~ 2,72
x2 = (-2 + √206)/(-6) = (2 - √206)/6 ~ -2,06
Левая часть неотрицательна при x ∈ [x2; x1]
Корень арифметический, поэтому x >= -1
Область определения x ∈ [-1; (2 + √206)/6]
Возводим всё в квадрат
17 + 2x - 3x^2 = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
4x^2 - 16 = 4(x - 2)(x + 2) = 0
Подходит только x = 2
5) б) √(x + 3) = x - 1
Корень арифметический, поэтому x >= 1
Возводим всё в квадрат
x + 3 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
x^2 - 3x - 2 = 0
D = 3^2 - 4*(-2) = 9 + 8 = 17
x1 = (3 - √17)/2 < 0 - не подходит
x2 = (3 + √17)/2 > 1 - подходит
в) √(5 - x) + √(x - 6) = x
Область определения:
{ 5 - x >= 0; x <= 5
{ x - 6 >= 0; x >= 6
Эта система решений не имеет, и само уравнение тоже.