Помогите, ПОЖАЛУЙСТА, решить по геометрии!
Знаю,что легко, всё равно не получается.
Даны точки A(1;5;8), B(5;2;9), C(7;4;7), D (8;3;0). Доказать, что прямая AB перпендикулярна плоскости BD.
Знаю,что легко, всё равно не получается.
Даны точки A(1;5;8), B(5;2;9), C(7;4;7), D (8;3;0). Доказать, что прямая AB перпендикулярна плоскости BD.
Answers & Comments
Verified answer
Всё-таки, я думаю, что в задании плоскость BCDЕсли прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Докажем, что АВ перпендикулярнa BD и BC. Решим через векторы.
АВ {5-1;2-5;9-8}
АВ {4; -3; 1}
|АВ|=✓(4²+(-3)²+1²)=✓26
BD {8-5; 3-2; 0-9}
BD {3; 1; -9}
|BD|=✓(3²+1²+(-9)²)=✓91
BC {7-5; 4-2; 7-9}
BC {2; 2; -2}
|BC|=✓(2²+2²+(-2)²)=✓12
cos (AB, BD)= (АВ•ВD) / (|AB|•|BD|)=(4*3+(-3)*1+1*(-9)) / (✓26•✓91)=0 => угол между векторами АВ и BD =90°, а значит прямая АВ перпенд. прямой BD
cos (AB, BC)= (АВ•ВC) / (|AB|•|BC|)=(4*2+(-3)*2+1*(-2)) / (✓26•✓12)=0 => угол между векторами АВ и BC =90°=> прямые АВ и ВС перпендикулярны.
Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD и ВС, лежащим в плоскости ВСD => AB перпендикулярна плоскости BCD