Verified answer

№3.

Пусть нормальный вектор плоскости x+y-z=0, тогда .

Пусть нормальный вектор плоскости x-y-5z=8, тогда .

Пусть направляющий вектор прямой, заданной системой.

Скалярное произведение векторов , и ,  равно нулю т.к. эти векторы перпендикулярны.

Осталось найти общею точку плоскостей, что полностью определить прямую. Пусть z=0, тогда откуда x=4; y=-4. Получили точку A(4;-4;0).

Пусть направляющий вектор прямой , тогда , а точка этой прямой B(-2;1;0).

= , значит прямые параллельны или совпадают ⇒ не пересекаются. Аппликата у точек A и B равна 0, но эти точки различны, значит прямые не совпадают.

Составим уравнение плоскости, перпендикулярной прямой с точкой A и направляющим вектором :

3(x-4)-2(y+4)+1(z-0)=0; 3x-2y+z=20. Найдём точку пересечения этой плоскости с прямой содержащей точку B.

Прямая в параметрическом виде:

Подставим координаты в уравнение плоскости:

-6+9α-2+4α+α=20 ⇒ α=2. Теперь подставим α. Точка пересечений С(4;-3;2).

Расстояние между нужными прямыми есть ρ(A,C) =

Ответ: √5.

№4.

Пусть нормальный вектор плоскости 6x-y+3z-41=0, тогда .

При сдвиге точки P(1;2;-3) на вектор k· должна получиться точка, лежащая на плоскости, то есть удовлетворяющая уравнению. Так и запишем. 6(1+6k)-(2-k)+3(-3+3k)-41=0 ⇒ k=46/47. Пусть проекция точки P на плоскость это .

Ответ: .

№5.

Запишем прямые в параметрическом виде.

Найдём нормальный вектор к плоскости, которая параллельна обоим прямым (вне зависимости от взаимного расположения прямых в пространстве, всегда существую такая плоскость).

Я хочу, чтобы при сдвиге точки из одной прямой на вектор мы получили точку другой прямой. Эти точки будут лежать на общем перпендикуляре. И если найти эти точки, то можно составить уравнение.

Получается, что точки A  и B это и есть точки общего перпендикуляра.

Ответ: .