Определения. Правильная призма — это прямая призма, у которой основание - правильный многоугольник. Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками. Итак, дана АВСА1В1С1 - прямая призма. АВС1 - сечение, угол между этим сечением и плоскостью АВС=60°. Это двугранный угол, образованный полуплоскостями АВС и АВС1, который измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). Итак, данный нам угол - это <CHC1=60° - угол в прямоугольном треугольнике СНС1, причем катет СН - это высота правильного треугольника АВС. По формуле высоты правильного треугольника СН=(√3/2)*а, где "а" - сторона треугольника. Тогда из треугольника СНС1 имеем: HС1=2*НС (катет против 30°)=√3*а. По Пифагору СС1=√(НС1²-НС²). СС1=√(3а²-(3*а²/4)=(3/2)*а. Это высота призмы. Площадь основания призмы So=(√3/4)*а² (формула). Тогда ее объем равен V=So*H=(√3/4)*а²*(3/2)*а=(3√3/8)*а³.
Answers & Comments
Verified answer
Определения.Правильная призма — это прямая призма, у которой основание - правильный многоугольник. Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками.
Итак, дана АВСА1В1С1 - прямая призма.
АВС1 - сечение, угол между этим сечением и плоскостью АВС=60°.
Это двугранный угол, образованный полуплоскостями АВС и АВС1, который измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). Итак, данный нам угол - это <CHC1=60° - угол в прямоугольном треугольнике СНС1, причем катет СН - это высота правильного треугольника АВС.
По формуле высоты правильного треугольника
СН=(√3/2)*а, где "а" - сторона треугольника.
Тогда из треугольника СНС1 имеем:
HС1=2*НС (катет против 30°)=√3*а.
По Пифагору СС1=√(НС1²-НС²).
СС1=√(3а²-(3*а²/4)=(3/2)*а. Это высота призмы.
Площадь основания призмы So=(√3/4)*а² (формула).
Тогда ее объем равен
V=So*H=(√3/4)*а²*(3/2)*а=(3√3/8)*а³.