Verified answer

∑(1;+∞) (n+2)²*(x-4)ⁿ

Находим радиус сходимости:

R=lim(n→∞) ((n+2)²/(n+1+2)²=lim(n→∞) ((n+2)²/(n+3)²=

=lim(n→∞) ((n²+4n+4)/(n²+6n+9)) Неопределённость ∞/∞.

Разделим одновременно числитель и знаменатель на n²:

R=lim(n→∞) ((1+4/n+9/n²)/(1+6/n+9/n²))=1/1=1.

R=1.

x₁=4-1=3         x₂=4+1=5.       ⇒

Интервал сходимости ряда (3;5).

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При x=3 ряд имеет вид ∑(1;+∞) ((n+2)²*(-1)ⁿ).     ⇒

lim(n→∞) ((-1)ⁿ*(n+2)²). При (n→∞) -   по первому признаку Лейбница функция знакочередующаяся и её члены  убывают монотонно.

|-9|>|16|>|-25|       9<16<25   ⇒     для нашего ряда это условие не выполняется.    

Так как  по второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к нулю       ⇒      

Ряд расходится и, значит, x = 3 - точка расходимости.

При x=5 ряд имеет вид ∑(1;+∞) (n+2)².  lim(n→∞) (n+2)²=∞    ⇒  

Ряд расходится, f значит, x = 5 - точка расходимости.  

Ответ: интервал сходимости ряда (3;5).