ВD1 и АС - скрещивающиеся прямые, то есть прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, другими словами, это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, надо провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. Получим пересекающиеся прямые, угол между которыми равен углу между исходными скрещивающимися. Это теория. В нашем случае проводим прямую EF параллельно прямой АС. Она пересечет диагональ параллелепипеда D1B в точке О - его центре. Плоскость ВED1F - плоскость, в которой лежат пересекающиеся прямые ВD1 и EF, угол между ними ВОE. Найдем значения отрезков АС (EF) и ВD1. Это диагонали прямоугольника АВСD и параллелепипедаАВСDА1В1С1D1 соответственно и равны АС=√(АВ²+ВС²) =√(1+4) =√5 и D1B=√(АВ²+ВС²+ВВ1²) = √(1+4+9)=√14. В треугольнике ВОE ВО=(1/2)*D1B = (√14)/2, EО=(1/2)*EF = (√5)/2 и ВE=√(АЕ²+АВ²) =√(1,5²+1²) = √3,25. По теореме косинусов в треугольнике ВОE косинус угла ВОЕ равен: Cos(ВОЕ) = (ВО²+ОЕ²-ВЕ²)/(2*ВО*ОЕ). Подставим значения и получим: Cos(ВОЕ) =(14/4+5/4-13/4)/(2*(√14)/2*(√5)/2)) = 3/√70. Ответ: косинус искомого угла равен 3/√70. P.S. Задачу можно решить векторным методом. Для этого надо "привязать" данный параллелепипед к осям координат, определить координаты его вершин и найти угол между векторами АС и D1B по известной формуле: cosα = {a•b}/|a|•|b| или cosα=(x1•x2+y1•y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]. Имеем: A(0;0;0), B(0;0;1), C(2;0;1), D(2;0;0) A1(0;3;0), B1(0;3;1), C1(2;3;1), D1(2;3;0) Тогда вектор АС{2;0;1}, вектор D1B{2;3;1} (чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала). Cosα = (4+0-1)/[√(4+1)*√(4+9+1)] = 3/√70.
Answers & Comments
Verified answer
ВD1 и АС - скрещивающиеся прямые, то есть прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, другими словами, это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, надо провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. Получим пересекающиеся прямые, угол между которыми равен углу между исходными скрещивающимися. Это теория. В нашем случае проводим прямую EF параллельно прямой АС. Она пересечет диагональ параллелепипеда D1B в точке О - его центре. Плоскость ВED1F - плоскость, в которой лежат пересекающиеся прямые ВD1 и EF, угол между ними ВОE.
Найдем значения отрезков АС (EF) и ВD1. Это диагонали прямоугольника АВСD и параллелепипедаАВСDА1В1С1D1 соответственно и равны АС=√(АВ²+ВС²) =√(1+4) =√5 и D1B=√(АВ²+ВС²+ВВ1²) = √(1+4+9)=√14.
В треугольнике ВОE ВО=(1/2)*D1B = (√14)/2, EО=(1/2)*EF = (√5)/2 и ВE=√(АЕ²+АВ²) =√(1,5²+1²) = √3,25.
По теореме косинусов в треугольнике ВОE косинус угла ВОЕ равен: Cos(ВОЕ) = (ВО²+ОЕ²-ВЕ²)/(2*ВО*ОЕ). Подставим значения и получим: Cos(ВОЕ) =(14/4+5/4-13/4)/(2*(√14)/2*(√5)/2)) = 3/√70.
Ответ: косинус искомого угла равен 3/√70.
P.S. Задачу можно решить векторным методом. Для этого надо "привязать" данный параллелепипед к осям координат, определить координаты его вершин и найти угол между векторами АС и D1B по известной формуле: cosα = {a•b}/|a|•|b| или cosα=(x1•x2+y1•y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)].
Имеем: A(0;0;0), B(0;0;1), C(2;0;1), D(2;0;0)
A1(0;3;0), B1(0;3;1), C1(2;3;1), D1(2;3;0)
Тогда вектор АС{2;0;1}, вектор D1B{2;3;1} (чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала).
Cosα = (4+0-1)/[√(4+1)*√(4+9+1)] = 3/√70.