Verified answer

По условию задания составим уравнение расстояния произвольной точки М(х; у) от точки А(3; -4) в 3 раза большего, чем от точки М до прямой х = 5.

√((3 - x)² + (y - (-4))²) = |3*(5 - x)|.

Модуль в правой части взят, чтобы длина не была отрицательной для точек, расположенных правее линии х = 5.

Возведём обе части в квадрат.

9 - 6x + x² + y² + 8y + 16 = 9*(25 - 10x + x²).,

Приведём подобные: 8x² - 84x - y² - 8y + 200 = 0.

Выделим полные квадраты.

8(x² - 10,5x + 5,25²) - 8*5,25² - (y² + 8y + 16) - 16 + 200 = 0.

8(x - (21/4))² - (y + 4)² = (9/2).

Разделим обе части на (9/2).

((x - (21/4))²)/(9/16) - ((y + 4)²)/(9/2) = 1.

Получено искомое уравнение. Это уравнение гиперболы.

Центр её расположен в точке ((21/4); -4).

Полуоси: действительная равна а =√(9/16) = 3/4, мнимая b = 3/√2.

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами  

Определим параметр c: c² = a² + b² = 9/16 + 9/2 = 81/16 .

c = 9/4.  

Тогда эксцентриситет будет равен: е = с/а = (9/4)/(3/4) = 3.

Более детальное решение приведено во вложении. Там же дан график полученной линии.