6) Если дробь неотрицательна, то числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Получаем две системы а) { (x + 4)(x - 1) ≥ 0 { (2^x + 4)(2^x - 2) > 0 Но 2^x + 4 > 0 при любом х, поэтому { (x + 4)(x - 1) ≥ 0 { 2^x - 2 > 0 По методу интервалов { x ∈ (-oo; -4] U [1; +oo) { x ∈ (1; +oo) x1 ∈ (1; +oo)
б) { (x + 4)(x - 1) ≤ 0 { (2^x + 4)(2^x - 2) < 0 Но 2^x + 4 > 0 при любом х, поэтому { (x + 4)(x - 1) ≤ 0 { 2^x - 2 < 0 По методу интервалов { x ∈ [-4; 1] { x ∈ (-oo: 1) x2 ∈ [-4; 1) Ответ: x ∈ [-4; 1) U (1; +oo)
7) 2sin^2 x + sin x*cos x - cos^2 x = 0 Проверим, что cos x не равен 0. Если cos x = 0, то sin x = 0, так не бывает. Делим всё на cos^2 x 2tg^2 x + tg x - 1 = 0 Квадратное уравнение относительно tg x (tg x + 1)(2tg x - 1) = 0 а) tg x = -1; x1 = -pi/4 + pi*k б) tg x = 1/2; x2 = arctg(1/2) + pi*k
8) Замена 2^x = y y^2 - 31y - 32 = 0 (y + 1)(y - 32) = 0 а) y1 = 2^x = -1 - решений нет, 2^x > 0 при любом х б) y2 = 2^x = 32 x = 5
Answers & Comments
Verified answer
1)2)
x = 30
3)
4)
5) Если x ∈ [π; 3π/2], то sin x < 0; cos x < 0
6)
Если дробь неотрицательна, то числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Получаем две системы
а)
{ (x + 4)(x - 1) ≥ 0
{ (2^x + 4)(2^x - 2) > 0
Но 2^x + 4 > 0 при любом х, поэтому
{ (x + 4)(x - 1) ≥ 0
{ 2^x - 2 > 0
По методу интервалов
{ x ∈ (-oo; -4] U [1; +oo)
{ x ∈ (1; +oo)
x1 ∈ (1; +oo)
б)
{ (x + 4)(x - 1) ≤ 0
{ (2^x + 4)(2^x - 2) < 0
Но 2^x + 4 > 0 при любом х, поэтому
{ (x + 4)(x - 1) ≤ 0
{ 2^x - 2 < 0
По методу интервалов
{ x ∈ [-4; 1]
{ x ∈ (-oo: 1)
x2 ∈ [-4; 1)
Ответ: x ∈ [-4; 1) U (1; +oo)
7) 2sin^2 x + sin x*cos x - cos^2 x = 0
Проверим, что cos x не равен 0. Если cos x = 0, то sin x = 0, так не бывает.
Делим всё на cos^2 x
2tg^2 x + tg x - 1 = 0
Квадратное уравнение относительно tg x
(tg x + 1)(2tg x - 1) = 0
а) tg x = -1; x1 = -pi/4 + pi*k
б) tg x = 1/2; x2 = arctg(1/2) + pi*k
8)
Замена 2^x = y
y^2 - 31y - 32 = 0
(y + 1)(y - 32) = 0
а) y1 = 2^x = -1 - решений нет, 2^x > 0 при любом х
б) y2 = 2^x = 32
x = 5