Помогите пожалуйста вычислить предел. Created by Mixcer. algebra-ru

Помогите пожалуйста вычислить предел...

Mixcer @Mixcer

July 2022 1 26 Report

Помогите пожалуйста вычислить предел

Answers & Comments

mathgenius

Ответ:

$e^{-\frac{1}{6} }$

Объяснение:

$\lim_{x \to \infty} (xsin\frac{1}{x})^{x^2+3} = \lim_{x \to \infty} ( 1 +xsin\frac{1}{x}-1 )^{x^2+3} = \\\\=\lim_{x \to \infty} ( 1 +\frac{1}{xsin\frac{1}{x}-1} )^{\frac{1}{xsin\frac{1}{x}-1}(x^2+3)*(xsin\frac{1}{x}-1)$

Заметим, что $xsin(\frac{1}{x} ) = \frac{(sin\frac{1}{x}) }{\frac{1}{x} }$ cтремится к $1$ при стремлении $x$ к бесконечности (первый замечательный предел), ибо $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

Тогда: $xsin(\frac{1}{x}) -1$ стремится к $0$ , соответственно $\frac{1}{xsin(\frac{1}{x}) -1}$ cтремится к бесконечности.

Таким образом, из второго замечательного предела следует, что данный предел эквивалентен следующему:

$\lim_{x \to \infty} ( 1 +\frac{1}{xsin\frac{1}{x}-1} )^{\frac{1}{xsin\frac{1}{x}-1}(x^2+3)*(xsin\frac{1}{x}-1)} = \\=e^ {\lim_{x \to \infty} (x^2 + 3)(xsin(\frac{1}{x}) -1) } = e^ {\lim_{x \to \infty} x^2(xsin(\frac{1}{x}) -1) }$

Посчитаем отдельно предел:

$\lim_{x \to \infty} x^2(xsin(\frac{1}{x}) -1) = \lim_{x \to \infty} x^3sin(\frac{1}{x}) -x^2$

В данном пределе возникает неопределенности вида 0*∞

Разложим $x^3*sin(\frac{1}{x})$ в ряд Тейлора до второго члена: (оставшиеся члены начиная с третьего будут стремится к 0 ):

$x^3*( \frac{1}{x} -\frac{1}{3!x^3} ) = x^2 - \frac{1}{6}$

Таким образом:

$\lim_{x \to \infty} x^2(xsin(\frac{1}{x}) -1) = \lim_{x \to \infty} x^3sin(\frac{1}{x}) -x^2 = \lim_{x \to \infty} x^2 -\frac{1}{6} -x^2 = -\frac{1}{6}$

Тогда окончательно получаем:

$\lim_{x \to \infty} (xsin\frac{1}{x})^{x^2+3} = e^{-\frac{1}{6}}$

1 votes Thanks 1

mathgenius Допустил огрех: должно было быть: ( 1+ 1/(1/(xsin(1/x) - 1) ) ), но на решение это не влияет.

mathgenius Просто в редакторе формул не очень удобно писать габаритные выражения, не мудрено, что опечатался...

Mixcer Ничего страшного, я заметил, главное идею понял )

mathgenius Понятненько... Хммм. Похоже, что 0 на табло спасибо показывает ваше удивление с открытым ртом красоте данного решения...

Answers & Comments

pomogite pozhalujsta golovu slomal nad etim primerom

pomogite pozhalujsta budu blagodarenc742a10bb54607a37cb2438cd569d115 49248

pomogite pozhalujsta s resheniem zadachi088f4b4b0f1d4bcecdc3c187851386db 40862

pomogite pozhalujsta obchisliti sumu sin0sin1sin2sin3sin357sin358sin359

pomogite pozhalujsta u vidpovid zapisati sumu vsih cilih ne dodatnih rozvyazkiv

pomogite pozhalujsta 1917

skladchasti sistemi ukrayinskih karpat i krimskih gir utvorilisya pid chas

pozhalujsta pomogite s anglijskim 1 zadanie0b16b858a35da0d4cf8a93da2dcb15c1 494

I hate ... (iron) so I think of ... (get) someone to do it...

x^2-2x+a=0; 7x2-4x1=47...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social