Verified answer

Площадь поверхности тела вращения равна:

площади двух конусов с радиусом основания - высотой треугольника из вершины основания к боковой стороне и образующими:

большей, равной боковой стороне данного треугольника, и

меньшей, равной его основанию.
Запишем это в виде выражения - согласно приложенному рисунку.
S₁ бок конуса₁= πrl₁
S₂ бок конуса₂= πrl₂
S₁+S₂=πrl₁+πrl₂=πr(l₁+l₂)
r=AO
l₁=АВ
l₂=АС

S АВА₁С= πАО(АВ+АС)

Из нужных для решения величин имеем

длину АС =6- основания треугольника, и

его высоты ВН=. 6√2
Необходимо найти образующую АВ - боковоую сторону треугольника,

и радиус АО - высоту треугольника к боковой стороне.

АО=2 S АВС:ВС.

ВС=АС=√(ВН²+АН²)=√(72+9)=9

2 S АВС=ВН·АС =6·6√2=36√2

АО=2*(18√2):9=4√2

Подставим найденное в  S АВА₁С =πАО(АВ+АС)

S АВА₁С= π4√2(9+6)=60π√2