43.5

a) f(x)=sinx
f'(x)=cosx
k=f'(a)=cos0=1

б) f(x)=tg2x
f'(x)=1/cos^2(2x) * 2 = 2/cos^2(2x)
k=f'(a)=2/cos^2(п/4)= 2/1/2 = 4

в) f(x)=cos3x
f'(x) = -sin3x*3=-3sin3x
k=f'(a)=-3sin(3п/2)=-3*(-1)=3

г) f(x) = ctgx
f'(x) = -1/sin^2(x)
k=f'(a) = -1/sin^2(п/3) = -1/(3/4) = -4/3

43.7

а) f(x)=(x-2)(x^2+2x+4) = x^3-8
f'(x) = 3x^2
tga=k=f'(x0)=3*9=27

б) f(x) = cos^2(3x)-sin^2(3x) = cos6x
f'(x)=-sin6x*6=-6sin6x
tga=k=f'(x0)=-6*sinп=0

43.9

a) x1=-2 => берем первое уравнение (так как |-2|>1)
y=x^2-1
y'=2x
k=y'(x1) = 2*(-2) = -4

x2=0 => берем второе уравнение (|0|<1)
y=1-x^2
y'=-2x 
k=y'(x2)=-2*0=0

x3=3 => берем первое уравнение
y=x^2-1
y'=2x
k=y'(x3)=2*3=6

б) x1=-1 => y=2-x^2
y'=-2x
k=y'(x1)=2

x2=0 => y=x^2+2
y'=2x
k=y'(x2)=0

x3=2 => y=x^2+2
y'=2x
k=y'(x3)=4

в) x1=-1 => y=-3x
y'=-3
k=y'(x1)=-3

x2=1 => y=√(5x)
y'=5/2√(5x)
k=y'(x2)=5/2√5=√5/2

x3=5 => y=√(5x)
y'=5/2√(5x) 
k=y'(x3)=5/(2*5)=5/10=0.5

г)  x1=-2 => y=√(4-2x)
y'= 1/2√(4-2x) * (-2) = -1/√(4-2x)
k=y'(x1)= -1/√(4+4)=-1/√8=-√8/8=-√2/4

x2=2 => y=√(4-2x)
y'=-1/√(4-2x)
k=y'(x2)=-1/4-4=-1/0 => угловой коэффициент стремится к бесконечности (касательная есть прямая, параллельная оси Oy) 

x3=вообще не видно, но предположу, что он больше 2 => y=x-2
y'=1
k=y'(x3)=1

43.11 

a) f(x)=|x^2-5x+6|
Определим, где модуль раскрывается со знаком "+", а где со знаком "-"

x^2-5x+6>0
(x-2)(x-3)>0
x<2;x>3 => Если x<2 или x>3, то модуль раскроется со знаком "+". В случае если 2<x<3, то модуль раскрывается со знаком "-"

x1=0 => y=x^2-5x+6
y'=2x-5
k=y'(x1)=-5

x2=2.5 => y=-x^2+5x-6
y'=-2x+5
k=y'(x2) = -5+5=0

x3=4 => y=x^2-5x+6
y'=2x-5
k=y'(x3)=8-5=3

б) f(x)=|-x^2+2x+3|

Аналогично, как и в прошлом номере:

-x^2+2x+3>0
x^2-2x-3<0
(x+1)(x-3)<0
-1<x<3 => Если -1<x<3, то модуль раскроется со знаком "+", если x<-1 или x>3, то модуль раскроется со знаком "-"

x1=-2 => y=x^2-2x-3
y'=2x-2
k=y'(x1)=-4-2=-6

x2=1 => y=-x^2+2x+3
y'=-2x+2
k=y'(x2)= -2+2=0

x3=2 => y=-x^2+2x+3
y'=-2x+2
k=y'(x3)=-4+2=-2