lerkalol351 Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Задача 1.
Проверить по определению, будет ли число 2 корнем многочлена:
а) f(x) = x5 - 4x4 + 7x3 - 24;
б) f(x) = 5x5 + 4x3 - 7x2 + 2.
Решение:
Подставляя вместо переменной число 2, имеем:
а) f(x) = 25 - 4·24 + 7·23 - 24 = 32 - 64 + 56 - 24 = 0. Следовательно, 2 - корень многочлена.
б) f(x) = 5·25 + 4·23 - 7·22 + 2 = 160 + 32 - 28 + 2 = 166  0. Следовательно, 2 - не является корнем многочлена.


Задача 2.
При помощи схемы Горнера проверить, является ли число с корнем многочлена f(x) = 4x6 - x5 - 6x4 + 3x3 + 50x - 68:
а) с = 3;
б) с = -2.
Решение:
В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степени, равной 2 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.
а)
4
3·4- 1 = 11
3·11- 6= 27
3·27+3 = 84
3·84+0 = 252
3·252+50= 806
3·806-68 = 2350  0


По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х - 3)), делаем вывод, что число 3 корнем многочлена не является.
б)
4
-2·4-1 = -9
-2·(-9)-6= 12
-2·12+3 = -21
-2·(-21)= 42
-2·42+50= -34
-2·(-34)-68= 0


По следствию из теоремы Безу - многочлен делится нацело на (х - (-2)) = (х + 2) - делаем вывод о том, что число -2 является корнем многочлена.


Задача 3.
Какова кратность корня х = -1 многочлена f(x) = x5 + 4x4 + 5x3 + x2 - 2x - 1?


Решение:
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:


Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х - (-1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3(х2 + х - 1), где коэффициенты многочлена х2 + х - 1 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность корня равна трем.


Задача 4.
Отделить кратные корни многочлена f(x) = x5 - 2x4 - x3 + 5 x2 - 4x + 1.
Решение:
Если многочлен имеет корень кратности k, то его производная имеет этот же корень кратности (k - 1). Найдем производную данного многочлена:
f /(x) = 5x4 - 8x3 - 3x2 + 10x - 4
Найдем наибольший общий делитель многочлена и его производной по алгоритму Евклида:
(f(x), f /(x)) = x2 - 2x + 1. Заметим, что это полный квадрат (x - 1)2, следовательно, f /(x) содержит корень 1 кратности 2, а f(x) содержит этот корень 1 кратности 2 + 1 = 3. Т.к. в наибольшем общем делителе других множителей нет, то и кратных корней у многочлена тоже больше нет.
Разделим f(x) на (x - 1)3 по схеме Горнера:


Получим f(x) = (x - 1)3(х2 + х - 1).Остальные 2 корня многочлена - простые (в этом случае действительные иррациональные числа).
Ответ: f(x) = (x - 1)3(х2 + х - 1).


Задача 5.
Разложить многочлен f(x) = x6 + x5 - 4x4 - 2x3 + 5x2 + x - 2 в произведение линейных множителей, отделив его кратные корни.


Решение:
f /(x) = 6x5 + 5x4 - 16x3 - 6x2 + 10x + 1
(f(x), f /(x)) = x3 - x2 - x + 1
Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f //(x):
f //(x) = 30x4 + 20x3 - 48x2 - 12x + 10
( f /(x), f //(x)) = x - 1. Следовательно, в f //(x)) имеется корень равный 1 кратности 1, значит в f /(x) этот корень входит с кратностью 2. Разделим первую производную многочлена на (x - 1)2 = (х2 - 2х + 1). Получим: f /(x) = (x - 1)2(х + 1). Т.е. в f /(x) корень равный 1 входит с кратностью 2. Значит в f (x) он входит с кратностью 3. В f /(x) корень равный -1 входит с кратностью 1, значит в f (x) он входит с кратностью 2. Т.к. f (x) - многочлен шестой степени, а найденные нами корни кратности - 2 и 3, то у f (x) есть еще один корень, который является простым.
Разделим f (x) на (x - 1)3 и на (x + 1)2 по схеме Горнера:


Получим: f (x) = (x - 1)3(x + 1)2(х + 2)
Ответ: f (x) = (x - 1)3(x + 1)2(х + 2)


Задача 6.
При помощи кратных корней, найти точку (точки) х, в которых график функции f(x)= х6 - 4х5 - 2х4 + 16х3 + 5х2 - 20х - 12 касается оси ОХ, но не пересекает ее.
Решение: f(x)= х6 - 4х5 - 2х4 + 16х3 + 5х2 - 20х - 12.
Найдем производную многочлена: f /(x)= 6х5 - 20х4 - 8х3 + 48х2 + 10х - 20.
НОД (f (x), f /(x)) = х3 - 3х - 2.
Найдем вторую производную, т.к. линейные множители пока выделить мы не можем: f //(x)) = 30х4 - 80х3 - 24х2 + 96х + 10.
НОД (f /(x), f //(x)) = х + 1. Таким образом: f //(x)) = (х +1)q1(x), следовательно: f /(x) = (х +1)2q2(x), разделив f /(x) на (х +1)2, получим f /(x) = (х +1)2(x - 2).
Следовательно, f (x) = (х +1)3(x - 2)2q3(x). Разделив f (x) на (х +1)3(x - 2)2 получим f (x) = (х +1)3(x - 2)2(x - 3).
Таким образом, имеем х = -1 - трехкратный корень многочлена, х = 2 - двукратный корень, х = 3 - простой корень. Следовательно, в точке х = 1 график имеет точку перегиба (нечетная кратность), в точке х = 2 график касается оси ОХ, но не пересекает ее (четная кратность), в точке х = 3 график пересекает ось ОХ (простой корень).
Ответ: х = 2.