Данное уравнение может иметь один корень в двух случаях: 1) числитель имеет один корень, попадающий в область определения уравнения (ООУ); 2) числитель имеет два корня, но один из них не попадает в ООУ.

Рассмотрим первый случай:

ООУ

Условие одного корня в числителе

Проверим, попадёт ли этот корень в ООУ

Значит, при данное уравнение имеет один корень.

Рассмотрим второй случай:

Необходимо, чтобы один из двух корней числителя не попал в ООУ

Значит, число должно быть решением числителя. Отсюда найдём соответствующее этому случаю значение параметра

Условие двух корней в числителе

Заметим, что полученное в первом пункте значение подходит под это условие, значит, корня действительно будет два.

Проверим, попал ли второй корень числителя в ООУ

Если уравнение имеет один корень (уравнение было составлено из этого соображения), то по теореме Виета второй корень равен

Значит, также при исходное уравнение имеет один корень.

Ответ.  

PS. Проверку второго корня из числителя можно было опустить, указав, что при числитель имеет обязательно два различных корня, соответственно, второй корень не может не попасть в ООУ.