Я заменю буковку k буквой a (она вообще чаще используется в задачах с параметром, но это не так важно, можно переписать решение, заменяя k на a), мне так удобнее просто
Итак, есть
и
Нужно, чтобы ∀x y₁>y₂
Первым делом рассмотрим особые случаи, когда один из графиков не является параболой
1. . Известно, что парабола с положительным коэффициентом при x² на бесконечности возрастает быстрее, чем прямая, поэтому точно найдется такая точка, что y₁=y₂. Это значение а не подходит.
2. Здесь ситуация аналогичная, только оба графика стремятся вниз, так что это значение а не подходит.
Сначала нам надо выяснить те значения, при которых нет точек пересечения двух графиков. Просто приравняем значения функций и решим это квадратное уравнение.
Рассмотрим отдельно ситуацию a=4:
5x+8=0; x=-1.6, то есть решение есть, значит, а=4 не подходит.
Что нам нужно, чтобы квадратное уравнение не имело решений: слева у нас уравнение квадратичной функции. Если дискриминант полученного выражения меньше нуля, то график не будет пересекаться с осью OX, т.е. решений у уравнения не будет, что в данный момент нам и нужно.
А по факту переформулируем задание на аналогичное: нужно найти те значения а, при которых график для любых х. То есть парабола целиком лежит выше оси ОХ. Мы нашли те значения, при которых парабола не пересекает ось ОХ. Но этого недостаточно: если парабола направлена вниз, то все значения функции меньше 0 и такая ситуация нам не подходит. Поэтому нужно, чтобы эта парабола была направлена вверх. То есть,
Собрав все эти ограничения, мы получаем, что .
P.S. вроде как первые особые случаи рассматривать не надо, оно все будет работать и так, но часто учителя любят, чтобы все это рассматривалось, чтобы точно обеспечить правильный ответ.
Answers & Comments
Задачки с параболами вечно не очень приятные
Я заменю буковку k буквой a (она вообще чаще используется в задачах с параметром, но это не так важно, можно переписать решение, заменяя k на a), мне так удобнее просто
Итак, есть
и
Нужно, чтобы ∀x y₁>y₂
Первым делом рассмотрим особые случаи, когда один из графиков не является параболой
1.
. Известно, что парабола с положительным коэффициентом при x² на бесконечности возрастает быстрее, чем прямая, поэтому точно найдется такая точка, что y₁=y₂. Это значение а не подходит.
2.
Здесь ситуация аналогичная, только оба графика стремятся вниз, так что это значение а не подходит.
Сначала нам надо выяснить те значения, при которых нет точек пересечения двух графиков. Просто приравняем значения функций и решим это квадратное уравнение.
Рассмотрим отдельно ситуацию a=4:
5x+8=0; x=-1.6, то есть решение есть, значит, а=4 не подходит.
Что нам нужно, чтобы квадратное уравнение не имело решений: слева у нас уравнение квадратичной функции. Если дискриминант полученного выражения меньше нуля, то график не будет пересекаться с осью OX, т.е. решений у уравнения не будет, что в данный момент нам и нужно.
А по факту переформулируем задание на аналогичное: нужно найти те значения а, при которых график
для любых х. То есть парабола целиком лежит выше оси ОХ. Мы нашли те значения, при которых парабола не пересекает ось ОХ. Но этого недостаточно: если парабола направлена вниз, то все значения функции меньше 0 и такая ситуация нам не подходит. Поэтому нужно, чтобы эта парабола была направлена вверх. То есть, 
Собрав все эти ограничения, мы получаем, что
.
P.S. вроде как первые особые случаи рассматривать не надо, оно все будет работать и так, но часто учителя любят, чтобы все это рассматривалось, чтобы точно обеспечить правильный ответ.
Ответ:
∈