Ответ:

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

\[r = \frac{m}{n},\]

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

\[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

2) При a=0 и r>0

\[{0^r} = 0.\]

В частности,

\[{a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a \]

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

\[\sqrt[n]{{{a^m}}} = {(\sqrt[n]{a})^m}\]

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

\[1){81^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{81}} = 3;\]

\[2){128^{\frac{5}{7}}} = \sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(\sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;\]

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

\[3){625^{0,75}} = {625^{\frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(\sqrt[4]{{625}})^3} = \]

\[ = {5^3} = 125;\]

\[4){243^{0,4}} = {243^{\frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {\left( {\sqrt[5]{{243}}} \right)^2} = \]

\[ = {3^2} = 9.\]

2). Логарифм числа - это показатель степени, то есть, в какую степень надо возвести число, которое стоит в основании, чтобы получить число в выражении логарифма. Например, log28 в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8 это log28=3.

Логарифм по снованию 2

Читается, как логарифм 8 по основанию 2 равен 3.

3). Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная величина находится в показателе степени.

a^{x}=b} — простейшее показательное уравнение. В данном уравнении a, b — известные постоянные величины, а x — неизвестная величина .