Помогите решить кто может. Для экзамена надо. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл.. Created by ЯСтудент17. matematika-ru

Помогите решить кто может. Для экзамена надо. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбниц...

NNNLLL54

Verified answer

$\int\limits^{\pi /2}_0 \, \frac{cosx}{5+cosx} dx =Q\\\\\int \frac{cosx}{5+cosx}dx=[\, t=tg \frac{x}{2}\; ,\; cosx= \frac{1-t^2}{1+t^2}\; ,\; dx= \frac{2\, dt}{1+t^2} \; ]=\\\\=\int \frac{2(1-t^2)dt}{(1+t^2)^2\cdot (5+\frac{1-t^2}{1+t^2})}=2\int \frac{(1-t^2)dt}{(1+t^2)(5+5t^2+1-t^2)} = 2\int \frac{(1-t^2)dt}{(1+t^2)(2t^2+3)\cdot 2} =\\\\=\int \frac{(1-t^2)dt}{(1+t^2)(2t^2+3)}\; \star$

$\frac{1-t^2}{(t^2+1)(2t^2+3)} = \frac{At+B}{t^2+1} + \frac{Ct+D}{2t^2+3}$

$1-t^2=(At+B)(2t^2+3)+(Ct+D)(t^2+1)\\\\t^3\; |\; 2A+C=0\; ,\; \; C=-2A\\\\t^2\; |\; 2B+D=-1\; \; ,\; \; D=-2B-1\\\\t^1\; |\; 3A+C=0\; ,\; \; 3A-2A=0\; ,\; A=0\\\\t^0\; |\; 3B+D=1\; ,\; \; 3B+(-2B-1)=1\; ,\; \; B=2\\\\D=-1-4=-5\; ,\; \; C=0\\\\\star \; \; \int \frac{2dt}{t^2+1}+\int \frac{-5\, dt}{2t^2+3}=2arctgt-\frac{5\sqrt2}{2\sqrt3}arctg\frac{t\sqrt2}{\sqrt3}+C=\\\\=2arctgtg(tg\frac{x}{2})- \frac{5}{\sqrt6} arctg\frac{\sqrt2\, tg\frac{x}{2}}{\sqrt3} +C=\\\\=2\cdot \frac{x}{2}-\frac{5}{\sqrt6}arctg\frac{\sqrt2\, tg\frac{x}{2}}{\sqrt3}+C)\; ;$

$Q=(x- \frac{5}{\sqrt6}arctg \frac{\sqrt2\, tg\frac{x}{2}}{\sqrt3})\Big |_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{2}-\frac{5}{\sqrt6}arctg \frac{1\cdot \sqrt2}{\sqrt3})=\frac{\pi }{2}- \frac{5}{\sqrt6}\cdot arctg\sqrt{\frac{2 }{3}}$

1 votes Thanks 1

ЯСтудент17 Спасибо

HSS9860

Verified answer

Посмотрите предложенное решение.
Метод интегрирования - универсальная тригонометрическая подстановка (первые квадратные скобки), метод разложения на сумму дробей - метод неопределённых коэффициентов (вторые квадратные скобки). По возможности перепроверьте коэффициенты.
Оформление не соблюдалось.

3 votes Thanks 2

ЯСтудент17 Спасибо

Answers & Comments

Verified answer

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social