Используем свойство степеней: 15^x = 3^x*5^x, 3^(x+1) = 3*3^x, 5^(x+1) =5*5^x. Тогда исходное неравенство запишем в виде: В числителе вынесем за скобки в первой паре 3^x, а во второй паре 5: Ещё раз вынесем за скобки 5^x-3: Определяем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль. 5^x-3 = 0, 5^x = 3, ≈ 0,682606. 3^x-5 = 0, 3^x = 5, ≈ 1,464974. -x = 0, x = 0. x-2 = 0, x = 2.
Применяем метод интервалов. Рисуем ось Х и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль (рисунок в приложении).
Нули знаменателя 0 и 2 - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя ≈ 0,682606 и ≈ 1,464974 - закрашены, так как неравенство нестрогое. При этом наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.
Эти точки разбивают ось Х на 5 промежутков.
Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».
И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую каждому промежутку там, где удобно.
Answers & Comments
Verified answer
Используем свойство степеней: 15^x = 3^x*5^x, 3^(x+1) = 3*3^x,5^(x+1) =5*5^x.
Тогда исходное неравенство запишем в виде:
В числителе вынесем за скобки в первой паре 3^x, а во второй паре 5:
Ещё раз вынесем за скобки 5^x-3:
Определяем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.
5^x-3 = 0, 5^x = 3,
3^x-5 = 0, 3^x = 5,
-x = 0, x = 0.
x-2 = 0, x = 2.
Применяем метод интервалов.
Рисуем ось Х и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль (рисунок в приложении).
Нули знаменателя 0 и 2 - выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя
≈ 0,682606 и 
≈ 1,464974 - закрашены, так как неравенство нестрогое. При этом наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.
Эти точки разбивают ось Х на 5 промежутков.
Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».
И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую каждому промежутку там, где удобно.
Это всё видно на рисунке в приложении.
Ответ: