Ответ:

a= -1

Пошаговое объяснение:

слева от знака равно имеем функцию зависящую от х с 4 положительными слагаемыми, а справа - константу

раскроем первый модуль если выражение в нем положительное:

(x-1)^2-2^(1-a)+|x-1|+(1-x)^2+2^(a-1)=4+4^a

2*(x-1)^2-2^(1-a)+|x-1|+2^(a-1)=4+4^a

если отрицательное:

-(x-1)^2+2^(1-a)+|x-1|+(1-x)^2+2^(a-1)=4+4^a

2^(1-a)+|x-1|+2^(a-1)=4+4^a

в обоих случаях слева от знака равно получаем функцию симметричную относительно х=1 и возрастающую в любую сторону от x=1 (в первом случае ветви параболы вверх и модуль, во втором - модуль)

что бы у начального уравнения при его параметрах (точка симметрии х=1 и возрастание в любую сторону от х=1) был единственное решение, необходимо что бы оно был в точке х=1, а иначе в силу симметрии любое решение слева даст еще одно решение отностиельно точки симметрии.

подставляем х=1 и находим при каких a он будет решением

2^(1-a)+2^(a-1)=4+4^a

2/2^a+2^a/2=4+2^(2a)

замена t=2^a/2;  2^a=2t; 2^(2a)=4t^2

1/t+t=4+4t^2 домножаем на t (t не равно 0)

1+t^2=4t+4t^3

(4t-1)(1+t^2)=0

t=1/4

a=-1