Помогите решить, пожалуйста!
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 длина ребра равна 1. M - центр грани DD1C1C. Используя метод координат, найдите:
1) Угол между прямыми AM и B1D
2) Расстояние между серединами отрезков AM и B1D.
2. Даны две точки: A, лежащая на оси ординат, и B (1; 0; 1). Прямая AB составляет с плоскостью OXZ угол 30 градусов. Найдите координаты точки A.
3. Найдите координаты вектора а, коллинеарного вектору b {6; 8 - 7,5} и образующего тупой угол с координатным вектором j, если модуль вектора a IaI=50.
Answers & Comments
Verified answer
1) Расположим куб в системе координат так, как показано на рисунке. Точка А - совпадаем с началом координат. Тогда координаты вершинА(0;0;0) ; В(0;1:0) ; С(1; 1; 0) ; D(1; 0; 0) ; В₁(0;1;1)
Координаты точки М (1; 1/2; 1/2)
Координаты векторов
Скалярное произведение равно 0, значит векторы ортогональны, прямые AM и B₁D перпендикулярны
Найдем координаты середины отрезка В₁D - точки K
K(1/2; 1/2;1/2)
Найдем координаты середины отрезка АМ - точки Е
E=(1/2; 1/4:1/4)
Ответ. 1) прямые АМ и В₁D перпендикулярны, угол между ними90°.2) расстояние между серединами отрезков АМ и В₁D равно
Задача 2. ( см. рис. 2)
В грани ОХZ -квадрат, все стороны которого 1. Диагональ квадрата ОВ имеет длину √2 илегко находится по теореме Пифагора 1²+1²=2²
В прямоугольном треугольнике АВО угол АВО равен 30°, угол АОВ равен 90°, так как ось оу перпендикулярна плоскости ОХZ.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30° катет в два раза меньше гипотенузы. Пусть ОА=y, тогда АВ=2y
По теореме Пифагора АВ²=АО²+ВО²
(2y)²=y²+(√2)² ⇒ 3y²=2 ⇒
Ответ.
Задача 3.
Так как векторы а и b коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Вектор a имеет координаты (6k; 8k;-7,5k), где k- коэффициента пропорциональности
Так как угол между векторами a и j - тупой, значит их скалярное произведение отрицательно.
Координаты вектора j - (0;1:0)
Найдем скалярное произведение
Так как k<0, то к=-2
Ответ. Вектор a имеет координаты (6·(-2); 8·(-2);-7,5·(-2)=(-12; -16; 15)