Ответ:

Пошаговое объяснение:

y⁽⁴⁾+5y'''+9y''+7y'+2y=0;

Составляем характеристическое уравнение:

y⁴+5y³+9y²+7y+2=0;

ищем решение методом подбора. Свободный член имеет делители:

1; 2; -1; 2

Проверяем, являются ли какие-нибудь его делители корнями уравнения (ну, понятно, что с положителыми корнями 1 и 2 дела не будет, проверяем -1):

y₁=-1  1-5+9-7+2=0;   (!)

Получем уравнение с пониженной на 1 степенью:

(y+1)(a₃y³+a₂y²+a₁y+a₀)=0;

Чтобы найти второй (выделенный) множитель разделим исходный многочлен на известный множитель (y+1) в столбик, как в 5-м классе делили (или в 4-м?):

y⁴+5y³+9y²+7y+2   l  y+1

                               ------------

y⁴+y³                       l y³+4y²+5y+2

---------------------------

       4y³+9y²+7y+2

       4y³+4y²

----------------------------

                5y²+7y+2

                5y²+5y

------------------------------

                          2y+2

                          2y+2

--------------------------------

                                  0

Вот мы его нашли!

(y+1)(y³+4y²+5y+2)=0

Продолжаем процесс. Подставляем делитель -2

y³+4y²+5y+2=0

y₂=-1   -1+4-5+2=0   (!)

y³+4y²+5y+2   l y+1                        

                        ------------                    

y³+y²             l y²+3y+2                  

-----------------------

      3y²+5y+2                                      

      3y²+3y                                          

------------------------

                2y+2

                2y+2

------------------------

                  0

Получаем вот такой многочлен:

(y+1)(y+1)( y²+3y+2)=0

y²+3y+2=0

y₃₄=0,5(-3±√(3²-4*2); y₃₄=0,5(-3±1)

y₃=-2; y₄= -1;

y₁=-1; y₂=-2; y₃=-1; y₄=-1.

у насчетыре действительных корня, причем три  из них -кратные.

Составляем исходную функцию:

у=С₁e⁻²ˣ+C₂e⁻ˣ+C₃xe⁻ˣ+C₄x₂e⁻ˣ

Надо бы проверить, но лень. Хотя в составлении исходной ф-ии я мог и напутать.