task/29537604  Решить уравнения    18.43.

 Используем формулы приведения , получаются квадратные уравнения относительно тригонометрических функции

a) 3tg²(x/2) - 2ctg(3π/2 + x/2) - 1 = 0 ⇔3tg²(x/2) + 2tg(x/2) - 1 = 0 ⇔

[ tg(x/2) = - 1 ; tg(x/2) =  1/3 .⇔[ x/2 = - π/4 +πn  ; x/2 =  arctg(1/3) + πn ,n ∈ ℤ.⇔

[ x = - π/2 +2πn  ; x =  2arctg(1/3) + 2πn , n ∈ ℤ.

б) 3tg²4x - 2ctg(π/2 - 4x) = 1 ⇔3tg²4x -2tg4x - 1 =0 ⇔[ tg4x =1 ; tg4x = -1/3.⇔

[ 4x =π/4 +πn  ; 4x = -arctg(1/3)+πn ,n ∈ ℤ. ⇔

[ x =π/16 +(π/4)n  ; x = - (1/4)arctg(1/3)+(π/4)n ,n ∈ ℤ.

в) tg(π +x) +2tg(π/2+x) +1 = 0 ⇔ tgx - 2ctgx +1 = 0⇔ tg²x +tgx  - 2 =0 ⇔

⇔[ tgx =1 ; tgx  = -2.⇔ [ x =π/4 +πn  ; x = -arctg2 +πn ,n ∈ ℤ.

г) 2ctgx -3ctg(π/2 - x) +5 = 0 ⇔ 2ctgx -3tgx + 5 =0⇔ 2ctg²x +5ctgx -3 =0 ⇔

квадр. уравнение относ. ctgx: D = 5²- 4*2*(-3) = 49 =7²; ctgx =( -5 ± 7)/2*2

[ ctgx = - 3 ; ctgx = 1/2. ⇔ [ x = - arcctg3 +πn ; x = arcctg(1/2) +πn ,n ∈ ℤ.

Verified answer