Verified answer

Дана трапеция АВСД, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О. Углы ВАО = ОАД = α. По заданию cos α = √(5/6).

ОС = √7, ОД = 3√15.

Решение.

Треугольник АВО - прямоугольный (угол 180/2 = 90), то есть биссектрисы пересекаются под прямым углом.

Примем за основу отрезок биссектрисы АО = х.

Из точки О проведём перпендикуляры ОЕ и ОК к основаниям.

BO = x*tg α.

sin α = √(1 - (5/6) = 1/√6.

tg α = (1/√6)/(√(5/6) = 1/√5. Тогда BO = х/√5.

Рассмотрим треугольник ВОС. Угол ВСЕ как взаимно перпендикулярный равен α, а ОВЕ = 90 - α.

По теореме синусов: sin(OBE)/√7 = sin(OCE)/BO.

sin(OBE) = sin(90 - α) = cos α = √(5/6).

Отсюда sin(OCE) = (х/√5)*√(5/6)/√7 = х/√42.

Находим косинус этого угла: cos(OCE) = √(1 - (x²/42)) = √(42 - x²)/√42.

Теперь можно определить длину основания ВС в зависимости от параметра х.

BC = BO*sin α + CO*cos(OCE) = (х/√5)*(1/√6) + √7*(√(42 - x²)/√42) =

      = (x√7 + √35*√(42 - x²))/√210.

Перейдём к определению длины АД.

ОК = х*sin α = х/√6.

АД = х*cos α + √((3√15)² - ( х/√6)²) = x√(5/6) + √(135 - (x²/6)).

Используем свойство АД = 5ВС (по заданию).

Составим уравнение:

5*((x√7 + √35*√(42 - x²))/√210) = x√(5/6) + √(135 - (x²/6)).

Решая это уравнение, получаем х = √10.

АВ = √10/√(5/6) = 2√3.

ВС = (√10*√7 + √35*√(42 - 10))/√210 = 5/√3.

Получаем ответ: АВ*ВС = 2√3*(5/√3) = 10.