Дано: (Пусть данный треугольник - ABC)

∠ABC = 90°

AC = 13 см

AB + BC = 17 см

Найти:

r - ?

Решение:

Найдём стороны треугольника

Пусть AB = x см, тогда CB = 17 - x см

По т. Пифагора:

x²+(17-x)²=13²

2x²+17²-34x=13²

2x²-34x+120=0

x²-17x+60=0

(x-5)(x-12)=0

Пусть сторона АВ - 5 см, а ВС - 12 см.

Проведём биссектрису ∠BAC - луч AD, и отметим точку пересечения биссектрис - I.

S(ABD)/S(ABC) = BD/BC = AB/(AB+AC) (отношение площадей треугольников с общ. высотой, затем свойство биссектрисы - делит сторону в отношении, равном отношению заключающих её сторон)

S(ABI)/S(ABD) = AI/AD = AB/(AB+BD) (аналогично)

BD = BC×AB/(AB+AC)

AD = 12×5/(5+13) = 12×5/18 = 2×5/3 = 10/3

S(ABI)/S(ABC) = S(ABI)/S(ABD) × S(ABD)/S(ABC) = AB/(AB+BD) × AB/(AB+AC) = AB²/((AB+BD)(AB+AC))

S(ABI)/S(ABC) = 5²/( (5+(10/3)) (5+13) ) = (25×3) / (25×18) = 1/6

S(ABC) = (5×12)/2 = 30 (см²)

S(ABI) = (5×r)/2 (т. к. высота из I на AB является радиусом вписанной окружности)

1/6 = ( 5r/2 )/30 = 5r/60 = r/12

r = 2 (см)

Ответ:

r = 2 см