(II) Максимумы, минимумы, замирания, интервалы роста и убывания: ; Значит точки максимумов и минимумов, это: . Поскольку все корни производной нечётные, то замираний (нестрогой монотонности) тут нет. При этом, по знакам производной можно указать интервалы роста и убывания функции: : : : на интервалах функция убывает. : : : на интервалах функция растёт.
(III) Область определения и область значений. – опреледена везде ; Учитывая, что в минимумах , ясно, что область значений функции ограничена этим общим минимумом: – даёт значения не меньше -4 ;
(IV) Асимптоты и точки разрыва. Точек разрыва нет, а значит нет и вертикальных асимптот. На обеих бесконечностях производная имеет неограниченное значение, а значит нет и ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.
(V) Выпуклость и вогнутость: ; Значит вторая производная отрицательна на , и функция при этом выпукла. На всём остальном протяжении функция вогнута.
Выпуклость функции продолжается между точками и
2)
При а = –4 уравнение y = –4 имеет 2 корня ; При уравнение y=a имеет 4 корня ; При а = 0 уравнение y=0 имеет 3 корня ; При a > 0 уравнение y=a имеет 2 корня ;
Answers & Comments
1)
(I) Нули аргумента и функции:
Значит три точки, содержащие ноли: ( -2 ; 0 ) , ( 0 ; 0 ) , ( 2 ; 0 ) – принадлежат исследуемой функции.
(II) Максимумы, минимумы, замирания, интервалы роста и убывания:
Значит точки максимумов и минимумов, это:
Поскольку все корни производной нечётные, то замираний (нестрогой монотонности) тут нет.
При этом, по знакам производной можно указать интервалы роста и убывания функции:
(III) Область определения и область значений.
Учитывая, что в минимумах
(IV) Асимптоты и точки разрыва.
Точек разрыва нет, а значит нет и вертикальных асимптот.
На обеих бесконечностях производная имеет неограниченное значение, а значит нет и ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.
(V) Выпуклость и вогнутость:
Значит вторая производная отрицательна на
На всём остальном протяжении функция вогнута.
Выпуклость функции продолжается между точками
2)
При а = –4 уравнение y = –4 имеет 2 корня
При
При а = 0 уравнение y=0 имеет 3 корня
При a > 0 уравнение y=a имеет 2 корня ;