Ответ:

а₁ = 1, а₂ = -3.  

Объяснение:

Задание

С3. Определите, при каких значениях а прямая у = х+1 является касательной к графику функции у = х²-ах+2.

Решение

1) Находим значение производной функции у = х²-ах+2; так как а - это константа, то выносим её за знак производной:

у' = 2х - а

2) Графической интерпретацией производной является прямая линия у=kх +b, угол наклона которой равен угловому коэффициенту k.

В уравнении прямой у = х + 1 угловой коэффициент k = 1, следовательно, в точке касания k = 1, и

2х-а=1     (1)

3) Кроме того, в точке касания также должны быть равны и координаты у, следовательно:

у = х²-ах+2  равен у = х+1, то есть:

х²-ах+2 = х+1

х²-ах+2 - х -1 =0    (2)

4) Из (1) выразим а и подставим в (2):

а = 2х-1

х² - (2х-1) · х + 2 - х - 1 = 0

5) Решаем уравнение, находим х:

х² - 2х² +х -х +1 = 0

-х² = -1

х² = 1

х₁,₂ = ± √1 = ± 1

х₁ = 1

х₂ = -1

6) Находим значения а:

а₁ = 2х₁ - 1 = 2· 1 - 1 = 2 - 1 = 1

а₂ = 2х₂ - 1 = 2 · (-1) - 1 = -2 - 1 = -3

7) Делаем проверку.

a) Проверка выполняется графо-аналитическим методом.

b) При а₁ = 1,  у = х²-ах+2 приобретает вид: у₁ = х²-х+2.

c) При а₂ = - 3,  у = х²-ах+2 приобретает вид: у₂ = х²+3х+2

d) Строим 3 графика:

у = х + 1

у = х²-х+2.

у = х²+3х+2

(см. прикрепление).

e) Как следует из построенных графиков, прямая у = х + 1 касается графиков у = х²-х+2 и у = х²+3х+2, а это значит, что оба значения a найдены верно.

Ответ: а₁ = 1, а₂ = -3.