Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ.
а) х² + 4х - 10 <= 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² + 4х - 10 = 0
D=b²-4ac =16 + 40 = 56 √D=√56 = √4*14 = 2√14;
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-4-2√14)/2
х₁= -2-√14 ≈ -5,7;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-4+2√14)/2
х₂= -2+√14 ≈ 1,7;
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -5,7 и х= 1,7 отметить эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у <= 0 (как в неравенстве), при значениях х от -5,7 до х= 1,7.
Решение неравенства [-2-√14; -2+√14]. Закрытый промежуток (отрезок), ответ 4).
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
b) -2х² + 10х - 25 <= 0
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
-2х² + 10х - 25 = 0/-1
2х² - 10х + 25 = 0
D=b²-4ac = 100 - 200 = -100
D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.
Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² + 3х + 2 = 0
D=b²-4ac = 9 - 8 = 1 √D=1
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-3-1)/2
х₁= -4/2
х₁= -2;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-3+1)/2
х₂= -2/2
х₂= -1.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -2 и х= -1, отметить эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у <= 0 (как в неравенстве), при значениях х от -2 до х= -1.
Решение неравенства [-2; -1]. Закрытый промежуток (отрезок), ответ 4).
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
d) х² - 4 > 0
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² - 4 = 0
х² = 4
х = ±√4
х₁ = -2;
х₂ = 2.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -2 и х= 2, отметить эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (как в неравенстве) при х от - бесконечности до -2 и от 2 до + бесконечности.
Решение неравенства: х∈(-∞; -2)∪(2; +∞). Объединение. Ответ 6).
Примечание: определение решения неравенства при помощи параболы - вспомогательное действие, его записывать никуда не нужно. Записать: приравнять к нулю; решить уравнение и определить его корни; на черновике начертить схему графика; записать решение неравенства.
Answers & Comments
Ответ:
В решении.
Объяснение:
Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ.
а) х² + 4х - 10 <= 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² + 4х - 10 = 0
D=b²-4ac =16 + 40 = 56 √D=√56 = √4*14 = 2√14;
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-4-2√14)/2
х₁= -2-√14 ≈ -5,7;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-4+2√14)/2
х₂= -2+√14 ≈ 1,7;
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -5,7 и х= 1,7 отметить эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у <= 0 (как в неравенстве), при значениях х от -5,7 до х= 1,7.
Решение неравенства [-2-√14; -2+√14]. Закрытый промежуток (отрезок), ответ 4).
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
b) -2х² + 10х - 25 <= 0
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
-2х² + 10х - 25 = 0/-1
2х² - 10х + 25 = 0
D=b²-4ac = 100 - 200 = -100
D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.
Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.
Подставить в неравенство произвольное значение х:
х = 0;
-2*0² + 10*0 - 25 = -25 <0, значит, неравенство выполняется всегда.
Решение: (-∞; +∞). Ответ 2).
с) х² + 3х + 2 ≤ 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² + 3х + 2 = 0
D=b²-4ac = 9 - 8 = 1 √D=1
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-3-1)/2
х₁= -4/2
х₁= -2;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-3+1)/2
х₂= -2/2
х₂= -1.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -2 и х= -1, отметить эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у <= 0 (как в неравенстве), при значениях х от -2 до х= -1.
Решение неравенства [-2; -1]. Закрытый промежуток (отрезок), ответ 4).
Неравенство нестрогое, скобки квадратные.
d) х² - 4 > 0
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² - 4 = 0
х² = 4
х = ±√4
х₁ = -2;
х₂ = 2.
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -2 и х= 2, отметить эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (как в неравенстве) при х от - бесконечности до -2 и от 2 до + бесконечности.
Решение неравенства: х∈(-∞; -2)∪(2; +∞). Объединение. Ответ 6).
Примечание: определение решения неравенства при помощи параболы - вспомогательное действие, его записывать никуда не нужно. Записать: приравнять к нулю; решить уравнение и определить его корни; на черновике начертить схему графика; записать решение неравенства.