Ответ:

Объяснение:

1) 4cos^3 (x + П/2) + sin x = 0

-4sin^3 x + sin x = 0

sin x*(-4sin^2 x + 1) = 0

sin x = 0; x = П*k, k ∈ Z

sin^2 x = 1/4

sin x = -1/2; x = -П/6 + 2П*n, x = 7П/6 + 2П*n, n ∈ Z;

sin x = 1/2; x = П/6 + 2П*n, n ∈ Z; x = 5П/6, n ∈ Z;

Корни на отрезке [-7П/2; -2П]

а) -7П/2 <= -П/6 + 2П*n <= -2П

-7/2 <= -1/6 + 2*n <= -2

-7/2 + 1/6 <= 2*n <= -2 + 1/6

-20/6 <= 2*n <= -13/6

-20/12 <= n <= -13/12

На этом отрезке решений нет

б) -7П/2 <= 7П/6 + 2П*n <= -2П

-7/2 <= 7/6 + 2*n <= -2

-7/2 - 7/6 <= 2*n <= -2 - 7/6

-28/6 <= 2*n <= -19/6

-28/12 <= n <= -19/12

n = -24/12 = -2; x = 7П/6 - 4П = -17П/6

в) -7П/2 <= П/6 + 2П*n <= -2П

-7/2 <= 1/6 + 2*n <= -2

-22/6 <= 2*n <= -13/6

-22/12 <= n <= -13/12

На этом отрезке решений нет

г) -7П/2 <= 5П/6 + 2П*n <= -2П

-7/2 <= 5/6 + 2*n <= -2

-26/6 <= 2*n <= -17/6

-26/12 <= n <= -17/12

n = -2; x = 5П/6 - 4П = -19П/6

На отрезке [-7П/2; -2П] будут корни:

x1 = -2П; x2 = -3П; x3 = -17П/6; x4 = -19П/6

2) 2sin(2x+П/3) - √3*sin x = sin 2x + √3

2sin(2x)*cos(П/3) + 2sin(П/3)*cos(2x) - √3*sin x = sin(2x) + √3

2sin(2x)*1/2 + 2*√3/2*cos(2x) - √3*sin x = sin(2x) + √3

sin(2x) + √3*cos(2x) - √3*sin x = sin(2x) + √3

Сокращаем подобные

√3*cos(2x) - √3*sin x = √3

Делим все на √3.

cos(2x) - sin x - 1 = 0

Применим формулу косинуса двойного аргумента.

1 - 2sin^2 x - sin x - 1 = 0

Сокращаем подобные

- 2sin^2 x - sin x = 0

-sin x*(2sin x + 1) = 0

sin x = 0; x = Пk; k ∈ Z

sin x = -1/2; x = -П/3 + 2П*n; x = 2П/3 + 2П*n; n ∈ Z

Корни на отрезке [2П; 7П/2]

а) 2П <= -П/3 + 2П*n <= 7П/2

2 <= -1/3 + 2*n <= 7/2

2 + 1/3 <= 2n <= 7/2 + 1/3

7/3 <= 2n <= 23/6

7/6 <= n <= 23/12

На этом отрезке решений нет

б) 2П <= 2П/3 + 2П*n <= 7П/2

2 <= 2/3 + 2*n <= 7/2

2 - 2/3 <= 2*n <= 7/2 - 2/3

4/3 <= 2*n <= 17/6

2/3 <= n <= 17/12

n = 1; x = 2П/3 + 2П = 8П/3

На отрезке [2П; 7П/2] будут корни:

x1 = 2П; x2 = 3П; x3 = 8П/3

3) √2*sin(2x + П/4) + √2*cos x = sin 2x - 1; x ∈ [-5П/2; -П]

√2*sin(2x)*cos(П/4) + √2*sin(П/4)*cos(2x) + √2*cos x = sin 2x - 1

√2*√2/2*sin(2x) + √2*√2/2*cos 2x + √2*cos x = sin 2x - 1

sin(2x) + cos(2x) + √2*cos x = sin 2x - 1

Сокращаем подобные

cos(2x) + √2*cos x = - 1

Применим формулу косинуса двойного аргумента.

2cos^2(x) - 1 + √2*cos x = - 1

2cos^2(x) + √2*cos x = 0

√2*cos x*(√2*cos x + 1) = 0

cos x = 0; x = П/2 + Пk; k ∈ Z

cos x = -1/√2; x = 3П/4 + 2П*n; x = -3П/4 + 2П*n; n ∈ Z

Корни на отрезке [-5П/2; -П]

а) -5П/2 <= 3П/4 + 2П*n <= -П

-5/2 <= 3/4 + 2*n <= -1

-5/2 - 3/4 <= 2*n <= -1 - 3/4

-13/4 <= 2*n <= -7/4

-13/8 <= n <= -7/8

n = -1; x = 3П/4 - 2П

б) -5П/2 <= -3П/4 + 2П*n <= -П

-5/2 <= -3/4 + 2*n <= -1

3/4 - 5/2 <= 2*n <= 3/4 - 1

-7/4 <= 2*n <= -1/4

-7/8 <= n <= -1/8

На этом отрезке решений нет

На отрезке [-5П/2; -П] будут корни:

x1 = -5П/2; x2 = -3П/2; x3 = 3П/4 - 2П = -5П/4