znanija.com/task/37821050

Решите уравнение  4sinx +3cosx = 5sin3x  , x ∈ [0 ; π/2]

Ответ:  0,5arcsin(3/5)  ,   ( π -arcsin(3/5) ) /4 .

Объяснение:  4sinx +3cosx = 5sin3x  , x∈ [0 ; π/2]        

4sinx +3cosx =5sin3x⇔sinx*4/5+cosx*3/5)=sin3x⇔

sinx*cosφ+cosx*sinφ = sin3x , где cosφ=4/5,sinφ=3/5 ; φ =arcsin(3/5)  ⇔  

sin(x+φ) =sin3x ⇔sin3x - sin(x+φ)=0 ⇔2sin(x -0,5φ)*cos(2x +0,5φ)=0 ⇔

x-0,5φ= πk ;  2x+0,5φ =π/2+πn     k ,n ∈ ℤ

x  = 0,5φ+ πk ;  x =( -1/4)φ +π/4+(π/2)n        k ,n ∈ ℤ  

x₁ =0,5arcsin(3/5)  и  x₂ = π/4 -(1/4)*arcsin3/5  ∈ [0 ; π/2]  

* * * sinα=sinβ⇔ sinα-sinβ=0⇔2sin((α-β)/2) *cos((α+β)/2) ⇔

sin((α-β)/2)=0 ;  cos((α+β)/2)=0 ⇔ (α-β)/2=πk  или ( α+β)/2=π/2 +πn ⇔

α= β+2πk  или  α = - β + π +2πn ; k , n ∈  ℤ * * *

* * * φ =arccos(4/5) ,φ =arctg(3/4) * * *