1. Пусть имеем описанную и вписанную окружности некоторого правильного многоугольника. Его сторона АВ касается вписанной окружности и значит ее радиус перпендикулярен к стороне многоугольника и делит ее пополам в точке касания Н. Тогда в прямоугольном треугольнике АОН ОН/АО=r/R=1/2. То есть катет равен половине гипотенузы. Это может быть только при угле ОАВ=30°. Значит в равнобедренном треугольнике АОВ (АО=ОВ - радиусы) угол АОВ=120°. Это центральный угол, значит он опирается на дугу, равную 120°. То есть сторона многоугольника стягивает дугу 120°, а это 1/3 окружности. То есть многоугольник является треугольником. Ответ: n=3.
2. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и тогда его диагонали - это хорды этой окружности. По свойству пересекающихся хорд имеем: MF*FN=KF*FE или в нашем случае, если KF=x: 6*8=х*(16-х). х²-16х+48=0 х1=8+√(64-48)=12. х2=8-4=4. Ответ: KF=12, FE=4 или наоборот KF=4, FE=12.
1. Обозначим за R радиус описанной окружности, за r - вписанной. Известно, что радиусы вписанной и описанной окружности около правильного многоугольника связаны формулой: r = R•cos(180°/n), где n - количество сторон. Отсюда cos(180°/n) = r/R. cos(180°/n) = 5 см/10 см cos(180°/n) = 1/2 arccos(1/2) = 60°. 180°:60° = 3. Ответ: 3 стороны.
2.Известно, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Опишем окружность. KE и MN - хорды этой окружности. По теореме о произведении хорд окружности: MF•FN = KF•FE 6•8 = KF(16 - KF) -KF² + 16KF = 48 KF² - 16KF + 48 = 0
Answers & Comments
Verified answer
1. Пусть имеем описанную и вписанную окружности некоторого правильного многоугольника. Его сторона АВ касается вписанной окружности и значит ее радиус перпендикулярен к стороне многоугольника и делит ее пополам в точке касания Н.Тогда в прямоугольном треугольнике АОН ОН/АО=r/R=1/2. То есть катет равен половине гипотенузы. Это может быть только при угле ОАВ=30°.
Значит в равнобедренном треугольнике АОВ (АО=ОВ - радиусы) угол АОВ=120°.
Это центральный угол, значит он опирается на дугу, равную 120°.
То есть сторона многоугольника стягивает дугу 120°, а это 1/3 окружности. То есть многоугольник является треугольником.
Ответ: n=3.
2. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и тогда его диагонали - это хорды этой окружности. По свойству пересекающихся хорд имеем:
MF*FN=KF*FE или в нашем случае, если KF=x: 6*8=х*(16-х).
х²-16х+48=0
х1=8+√(64-48)=12.
х2=8-4=4.
Ответ: KF=12, FE=4 или наоборот KF=4, FE=12.
Verified answer
1. Обозначим за R радиус описанной окружности, за r - вписанной.Известно, что радиусы вписанной и описанной окружности около правильного многоугольника связаны формулой:
r = R•cos(180°/n), где n - количество сторон.
Отсюда cos(180°/n) = r/R.
cos(180°/n) = 5 см/10 см
cos(180°/n) = 1/2
arccos(1/2) = 60°.
180°:60° = 3.
Ответ: 3 стороны.
2.Известно, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Опишем окружность.
KE и MN - хорды этой окружности. По теореме о произведении хорд окружности:
MF•FN = KF•FE
6•8 = KF(16 - KF)
-KF² + 16KF = 48
KF² - 16KF + 48 = 0
KF1 + KF2 = 16
KF1•KF2 = 48
KF1 = 12
KF2 = 4
KF = 12
FE = 4
KF = 4
FE = 12
Ответ: 4 см; 12 см.