Правильный треугольник АВС проектируется в прямоугольный треугольник АВС₁. Вычислите угол ϕ между плоскостями этих треугольников(рисунок+решение)
Answers & Comments
ssoxo
Треугольник АВС правильный со стороной а. Треугольник АВС1 прямоугольный, ∠АС1В=90°. СС1⊥АВС1, значит тр-ки АСС1, МСС1 и ВСС1 прямоугольные. Прямоугольные тр-ки АСС1 и ВСС1 равны т.к. АС=ВС и СС1 - общая сторона, значит АС1=ВС1. Прямоугольный тр-ник АВС1 - равнобедренный, значит АС1=ВС1=АВ/√2. Высоты равнобедренных тр-ков АВС и АВС1 являются медианами и у тр-ков общее основание, значит основание высот лежит в одной точке М. СМ⊥АВ и С1М⊥АВ, значит ∠СМС1 - линейный угол двугранного угла САВС1, то есть ∠СМС1=φ - угол между плоскостями АВС и АВС1.
В тр-ке АВС высота СМ=а√3/2, В тр-ке АВС1 высота С1М=АМ=а/2.
В тр-ке СС1М cosφ=С1М/СМ=а·2/(2а√3)=1/√3. ∠φ=arccos(1/√3)≈54.7° - это ответ.
Answers & Comments
СС1⊥АВС1, значит тр-ки АСС1, МСС1 и ВСС1 прямоугольные.
Прямоугольные тр-ки АСС1 и ВСС1 равны т.к. АС=ВС и СС1 - общая сторона, значит АС1=ВС1.
Прямоугольный тр-ник АВС1 - равнобедренный, значит АС1=ВС1=АВ/√2.
Высоты равнобедренных тр-ков АВС и АВС1 являются медианами и у тр-ков общее основание, значит основание высот лежит в одной точке М.
СМ⊥АВ и С1М⊥АВ, значит ∠СМС1 - линейный угол двугранного угла САВС1, то есть ∠СМС1=φ - угол между плоскостями АВС и АВС1.
В тр-ке АВС высота СМ=а√3/2,
В тр-ке АВС1 высота С1М=АМ=а/2.
В тр-ке СС1М cosφ=С1М/СМ=а·2/(2а√3)=1/√3.
∠φ=arccos(1/√3)≈54.7° - это ответ.