При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на мно...

Diego @Diego

September 2021 1 36 Report

При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на многочлен 1+x+x^2+...+x^n

Answers & Comments

chech

При делении получится некоторый многочлен степени n:

$\frac{1+x^2+x^4+...+x^{2n}}{1+x+x^2+...+x^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

Избавимся от знаменателя:

$(1+x^2+x^4+...+x^{2n})=(1+x+x^2+...+x^n)(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)$

Раскроем скобки в правой части:

$a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)=$

$a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}$

Коэффициенты при нечётных степенях должны быть равны нулю, а коэффициенты при чётных степенях должны быть равны 1:

a_0=1

a_0+a_1=0

a_0+a_1+a_2=1

...

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=1$ , при чётном n

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=0$ , при нечётном n

...

a_n=1

Отсюда получаем, что $a_1=-1$ , $a_2=1$ , $a_3=-1$ , $a_4=1$ , и так далее, коэффициенты с нечётными индексами равны -1, а коэффициенты с чётными индексами равны 1.

Так как a_n=1, то очевидно, что n должно быть чётным, при этом при любом чётном n будут существовать корректные наборы коэффициентов a_i.

Ответ: при любом чётном n.

0 votes Thanks 1

Answers & Comments

В треугольнике ABC исзвестны стороны: BC=a, CA=b, AB=c. Найдите отрезки сторон, ...

В треугольнике DEF EF=8, ED=17. Найдите площадь треугольника, если: а) через п...

При ядерной реакции^4_9He + ^4_2He ----> ^12_6C+ ? освобождается:^ - верхний ...

При параллельном переносе на вектор a точка K(-8;3) отображается на ту же точку,...

Определить среднюю линию трапеции, описанной около окружности, если площадь трап...

Площадь круга, описанного около правильного 25-угольника, на 9п (9пи) больше пло...

Отрезок AB является стороной правильного треугольника, вписанного в окружность с...

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса 5. Если при этом сторона AB рав...

В треугольнике ABC известно, что AB=7, AC=9, BC=13. В каком отношении, считая от...

2...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social