При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на мно...

Diego @Diego

September 2021 1 26 Report

При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на многочлен 1+x+x^2+...+x^n

Answers & Comments

chech

При делении получится некоторый многочлен степени n:

$\frac{1+x^2+x^4+...+x^{2n}}{1+x+x^2+...+x^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

Избавимся от знаменателя:

$(1+x^2+x^4+...+x^{2n})=(1+x+x^2+...+x^n)(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)$

Раскроем скобки в правой части:

$a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)=$

$a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}$

Коэффициенты при нечётных степенях должны быть равны нулю, а коэффициенты при чётных степенях должны быть равны 1:

a_0=1

a_0+a_1=0

a_0+a_1+a_2=1

...

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=1$ , при чётном n

$a_0+a_1+a_2+...+a_n=0$ , при нечётном n

...

a_n=1

Отсюда получаем, что $a_1=-1$ , $a_2=1$ , $a_3=-1$ , $a_4=1$ , и так далее, коэффициенты с нечётными индексами равны -1, а коэффициенты с чётными индексами равны 1.

Так как a_n=1, то очевидно, что n должно быть чётным, при этом при любом чётном n будут существовать корректные наборы коэффициентов a_i.

Ответ: при любом чётном n.

0 votes Thanks 1

Answers & Comments

v treugolnike abc iszvestny storony bca cab abc najdite otrezki storon

v treugolnike def ef8 ed17 najdite ploshad treugolnika esli a cherez p

pri yadernoj reakcii49he 42he gt 126c osvobozhdaetsya verhnij

pri parallelnom perenose na vektor a tochka k 83 otobrazhaetsya na tu zhe tochku

opredelit srednyuyu liniyu trapecii opisannoj okolo okruzhnosti esli ploshad trap

ploshad kruga opisannogo okolo pravilnogo 25 ugolnika na 9p 9pi bolshe plo

otrezok ab yavlyaetsya storonoj pravilnogo treugolnika vpisannogo v okruzhnost s

chetyrehugolnik abcd vpisan v okruzhnost radiusa 5 esli pri etom storona ab rav

v treugolnike abc izvestno chto ab7 ac9 bc13 v kakom otnoshenii schitaya ot

2...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social