Рассмотрим всевозможные тройки чисел из заданных четырех. Их число будет равно числу сочетаний из четырех чисел по три: C(n,k) = n!/k!(n-k)! = 4!/3!*1! = 4. Обозначим исходные числа через a, b, c и d. Выпишем произведения этих троек: abc, abd, acd и bcd. По условию все они являются точными квадратами, т. е. abc = k², abd = l², acd = m² и bcd = n², где k, l, m и n - целые. Докажем, что и произведение всех четырех исходных чисел является полным квадратом. Т. к. a = k²/bc, b = l²/ad, c = m²/ad и d = n²/bc, то abcd = k²*l²*m²*n²/a²*b²*c*d² = (klmn/abcd)² = i², где i - целое. Тогда a = abcd/bcd = i²/n² = (i/n)², b = abcd/acd = i²/m² = (i/m)², c = abcd/abd = i²/l² = (i/l)² и d = abcd/abc = i²/k² = (i/k)² тоже являются полными квадратами.
Answers & Comments
Verified answer
Рассмотрим всевозможные тройки чисел из заданных четырех. Их число будет равно числу сочетаний из четырех чисел по три: C(n,k) = n!/k!(n-k)! = 4!/3!*1! = 4. Обозначим исходные числа через a, b, c и d. Выпишем произведения этих троек: abc, abd, acd и bcd. По условию все они являются точными квадратами, т. е. abc = k², abd = l², acd = m² и bcd = n², где k, l, m и n - целые. Докажем, что и произведение всех четырех исходных чисел является полным квадратом. Т. к. a = k²/bc, b = l²/ad, c = m²/ad и d = n²/bc, то abcd = k²*l²*m²*n²/a²*b²*c*d² = (klmn/abcd)² = i², где i - целое. Тогда a = abcd/bcd = i²/n² = (i/n)², b = abcd/acd = i²/m² = (i/m)², c = abcd/abd = i²/l² = (i/l)² и d = abcd/abc = i²/k² = (i/k)² тоже являются полными квадратами.