Прямая OL, не перпендикулярная оси OZ, равномерно вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью ω. Точка М движется по прямой OL со скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ подвижной точки до точки О. Написать параметрические уравнения траектории точки М.
(траектория называется конической спиралью)
(траектория называется конической спиралью)
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
В неподвижной системе координат расстояние до точки O изменяется в соответствии с дифференциальным уравнением:r'(t) = r(t) / τ (неизвестный коэффициент пропорциональности здесь 1/τ)
Уравнение с разделяющимися переменными, решаем:
dr / r = dt / τ
r = r(0) exp(t / τ)
Переходим от r к (x, y, z):
x(t) = x(0) exp(t / τ)
y(t) = y(0) exp(t / τ)
z(t) = z(0) exp(t / τ)
В вращающейся системе координат z остаётся такой же, а x и y периодически изменяются:
x(t) -> x(t) cos(ωt + φ)
y(t) -> y(t) sin(ωt + φ)
В итоге получаем такие параметрические уравнения:
x(t) = x(0) cos(ωt + φ) exp(t / τ)
y(t) = y(0) sin(ωt + φ) exp(t / τ)
z(t) = z(0) exp(t / τ)
Если выбрать в качестве параметра угол θ, на который повернулась прямая, то будет немного по-другому:
x(θ) = a cos θ exp(θ/Φ)
y(θ) = a sin θ exp(θ/Φ)
z(θ) = b exp(θ/Φ)
(Φ = ωτ)