Verified answer

Ответ:

[tex]\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx 0.413[/tex]

Объяснение:

Искомая вероятность будет выражаться как отношение площади треугольника к площади круга, т.е.

[tex]P(A)=\dfrac{S_\triangle}{S_\circ}[/tex]

Пусть сторона треугольника [tex]a[/tex]. Тогда площадь треугольника [tex]S_\triangle[/tex] равна

[tex]S_\triangle=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2[/tex]

Теперь выразим радиус [tex]R[/tex] через сторону треугольника [tex]a[/tex] по теореме синусов (угол треугольника [tex]\angle A=60^\circ[/tex])

[tex]\dfrac{a}{\sin\angle A}=2R\\\\R=\dfrac{a}{2\cdot\sin60^\circ}=\dfrac{a}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a[/tex]

Затем выразим площадь круга по формуле [tex]S_\circ=\pi R^2[/tex]

[tex]S_\circ=\pi R^2=\pi\cdot\Big(\dfrac{\sqrt{3}}3a\Big)^2=\dfrac13\pi a^2[/tex]

Затем найдем отношение площадей - искомую вероятность

[tex]P(A)=\dfrac{S_\triangle}{S_\circ}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2}{\dfrac13\pi a^2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx 0.413[/tex]