Verified answer

 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, и окружность, описанная около него, имеют общий центр, причем, так как стороны многоугольника - касательные для вписанной окружности, её  радиус  является высотой равнобедренного треугольника соединяющего центр с вершинами описанного многоугольника. (см. рисунок).

На рисунке О - центр окружностей, ОА=ОВ=R=8, ОН=r=4√3. Треугольник ОНВ  прямоугольный. Sin∠OAH=ОН:ОА=4√3:8=√3/2 - это синус 60°. Следовательно, в равнобедренном треугольнике углы при АВ=60°, ⇒ ∠АОВ=60°, а  ∆ АОВ - равносторонний. Сторона  данного многоугольника АВ=8. Угол АОВ - центральный, делит окружность на 360°:60°=6 равных углов, противолежащих каждой стороне многоугольника. ⇒ Данный многоугольник имеет 6 сторон.