Решить дифференциальное уравнение, которое допускает понижение порядка...

rrrrtttt01 @rrrrtttt01

July 2022 1 26 Report

Решить дифференциальное уравнение, которое допускает понижение порядка

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$xy''=y'\ln\dfrac{y'}{x}$

Замена:

$y'=p$

$\Rightarrow y''=p'$

Получим уравнение:

$xp'=p\ln\dfrac{p}{x}$

$p'=\dfrac{p}{x} \ln\dfrac{p}{x}$

Замена:

$\dfrac{p}{x}=t$

$\Rightarrow p=tx$

$\Rightarrow p'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

$t'x+t=t \ln t$

$t'x=t \ln t-t$

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} =t \ln t-t$

$\dfrac{dt}{t \ln t-t} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{t \ln t-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{t( \ln t-1)} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{d(\ln t)}{ \ln t-1} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{d(\ln t-1)}{ \ln t-1} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\ln|\ln t-1| =\ln|x|+\ln C$

$\ln|\ln t-1| =\ln Cx$

$\ln t-1 =Cx$

Обратная замена:

$\ln \dfrac{p}{x}-1 =Cx$

$\ln p-\ln x-1 =Cx$

$\ln p=\ln x+1+Cx$

$p=e^{\ln x+1+Cx}$

$p=xe^{1+Cx}$

Обратная замена:

$y'=xe^{1+Cx}$

$\dfrac{dy}{dx} =xe^{1+Cx}$

$dy =xe^{1+Cx}dx$

$\int dy =\int xe^{1+Cx}dx$

Найдем интеграл правой части по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int xe^{1+Cx}dx=\left=$

$=x\cdot\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}-\int\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}dx=\dfrac{x}{C}e^{1+Cx}-\dfrac{1}{C}\cdot\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}+C_2=$

$=\dfrac{x}{C}e^{1+Cx}-\dfrac{1}{C^2}e^{1+Cx}+C_2=\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}\left(x-\dfrac{1}{C}\right)+C_2$

Значит:

$y=\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}\left(x-\dfrac{1}{C}\right)+C_2$

4 votes Thanks 4

More Questions From This User See All

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

pozhalujsta reshite s podrobnym obsneniem

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

pozhalujsta pomogite76bf1da7043a139c69617cb2413dfdf2 16541

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

izvestno chto chislo 1 yavlyaetsya odnim iz kornej uravneniya x5xax20 najdite

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

pozhalujsta9e95717b321b715089f2076a57d14ab5 17394

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

pozhalujsta0d16b63950a0adff906db33d0714b95a 54701

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

pozhalujsta7b47aad35e8ec17520de9c6c4952551f 17244

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

kakoj po vesu gruz snyali s parohoda esli osadka ego umenshilas na 20 sm plosha1da131426d8352785eedefd16aef5efd 45868

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

2 i 3 obusnujte mnenie vo 2 pozhalujsta

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

v i g pozhalujsta pomogite65e0289a85fd7781256dec92c4e963aa 89264

rrrrtttt01 August 2022 | 0 Ответы

tex]...

рекомендуемые вопросы

rarrrrrrrr August 2022 | 0 Ответы

o chem dolzhny pozabotitsya v pervuyu ochered vzroslye pri organizacionnom vyvoze n

danilarsentev August 2022 | 0 Ответы

est dva stanka na kotoryh vypuskayut odinakovye zapchasti odin proizvodit a zapcha

myachina8 August 2022 | 0 Ответы

najti po grafiku otnoshenie v3v1 v otvetah napisano 9 no nuzhno reshenie

ydpmn7cn6w August 2022 | 0 Ответы

Choose the correct preposition: 1.I am fond (out,of,from) literature. 2.where ar...

millermilena658 August 2022 | 0 Ответы

opredelite kak sozdavalas i kto sozdaval arabskoe gosudarstvo v kracii

MrZooM222 August 2022 | 0 Ответы

ch ajtmanov v rasskaze krasnoe yabloko ispolzuet metod rasskaz v rasskaze opi

timobila47 August 2022 | 0 Ответы

kakovo bylo naznachenie kazhdoj iz chastej vizantijskogo hrama pomogite pozhalujsta

ivanyyaremkiv August 2022 | 0 Ответы

pozhalujsta8b98a56c0152a07b8f4cbcd89aa2f01e 97513

sarvinozwakirjanova August 2022 | 0 Ответы

pomogite pozhalusto pzha519d7eb8246a08ab0df06cc59e9dedb 6631

Helpful Links

Политика конфиденциальности

Правила и условия

Контакты

Helpful Social

Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.