11.  АВ = корень(24² + 10²) = 26 м.

Площадь:

S(ABC) = 24*10/2 = 120 m²

С другой стороны:

S(ABC) = p*r, где р=(24+10+26)/2 = 30 м - полупериметр, а r - искомый радиус впис. окр-ти.

30r = 120,    r = 4

Ответ: 4 м.

12.  Пусть MN = MK = KN = a

OL = r - радиус вписанной окр-ти. Для равностороннего тр-ка он равен (1/3) высоты:

r = ⅓(a√3)/2 = (a√3)/6 = √3 (по условию)

Отсюда: а = 6

Ответ: 6

13. QN = корень(12²-8²) = 4√5

QT = 2QN = 8√5.

Площадь тр-ка:

S = ½QT*MN = 32√5

С другой стороны площадь выражается через радиус R описанной окр-ти, который и нужно найти:

S = (abc)/(4R)

R = (abc)/4S = (8*8*8√5)/(4*32√5) = 4 м.

Ответ: 4 м.

14. r = AO*sin30 = 20*½ = 10 дм.

Тогда катет АС:

АС = AO*cos30 + r = 10(1+√3) дм.

Искомый катет ВС:

ВС = АС*tg60 = 10(3+√3)

Ответ: 10(3+√3) дм.

Verified answer

11)

OD=r (это радиус окружности, вписанного в треугольник)

чтобы найти r нужно :

r=a3/2\sqrt{3}

a3=P/3

P=a+b+c

следуя из этого, нужно найти третью сторону, так как CB и CA  уже извечтны

чтобы его найти, используем теорему Пифагора:

BA^2=CB^2+AC^2=10^2+24^2=100+576=676

BA=26

итак, третья сторона известна, найдем теперь пиреметр:

P=a+b+c=24+10+26=60м

пиреметр найден, и вспомощью него мы сможем найти a3(это одна сторона треугольника, описанного окружность):

a3=60/3=20м

и теперь найдем r, то есть DO:

r=20/2\sqrt{3} =(\sqrt{400} )/(\sqrt{12} )=\sqrt{33 4/12}= \sqrt{33 1/3}

12)

тут такая же ситуация:

r=\sqrt{3}

r=a3/2\sqrt{3}

a3= P/3

P=a+b+c

a3=r*2\sqrt{3} = \sqrt{3} * 2 \sqrt{3} =2*3=6

6=P/3 =>  P=6*3=18

этот треугольник равносторонний, то есть все стороны равны, так как отмечен один угол : угол M равен 60 градусам. 180/60=3 значит все они равны

следуя этому, мы получаем следующее: 18/3=6 см одна сторона

ответ: 6 см

13 и 14 я не поняла