1) f`(x)=(1+cosx)`·sinx+(1+cosx)·(sinx)`=(-sinx)·sinx+(1+cosx)·(cos)=-sin²x+cosx+cos²x= =-1+cos²x+cosx+cos²x=2cos²x+cosx-1 Приравниваем производную к нулю: 2cos²x+cosx-1=0 D=1-4·2·(-1)=1+8=9=3² cosx=(-1-3)/4 или cos x=(-1+3)/4 cosx =- 1 или cos x=1/2 x=π+2πk, k∈Z x=±(π/3)+2πn, n∈Z Отметим эти точке на отрезке [0;π] [0]---------(π/3)------------------[π] Считаем знак на [0;π/3), при х=π/4 f`(π/4)=2·(1/2)+(√2/2)-1=√2/2>0 ставим знак + на [0;π/3) Считаем знак на (π/3;π], при х=π/2 f`(π/2)=2·(0)+(0)-1=-1<0 ставим знак - на (π/3;π] Знак производной: + - [0]---------(π/3)------------------[π] f(x) возр f(x) убывает π-(π/3)=2π/3 Ответ. 2π/3
2) Находим частные производные: Р`(x)= - sin x·cos y·cos(x+y) +cos x·cos y·(- sin (x+y)) = - cos y·(sinx·cos(x+y) + cosx·sin (x+y))= = - cos y ·sin (x + x + y)=- cos y · sin (2x + y) Р`(y)= cos x·(-sin y)·cos(x+y) +cos x·cos y·(- sin (x+y)) = - cos x·(siny·cos(x+y) + cosy·sin (x+y))= = - cos x ·sin (y + x + y)=- cos x · sin (x + 2y) Приравниваем частные производные к нулю, находим стационарные точки Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Система распадается на 4 системы: Решение первой системы - (π/2 + πk; π/2 + πn) k,n ∈Z Решение второй системы - ( πk; π/2 + πn) k,n ∈Z Решение третьей системы - (π/2 + πk; πn) k,n ∈Z Решение четвертой системы - (π(n-2k)/3 ; π(k-2n)/3 ) k,n ∈Z
Почти во всех точках Р=0 Проверим точку из решений четвертой системы при n=k=1 получим точку (-π/3; -π/3) P(-π/3; -π/3)=cos(-π/3)·cos(-π/3)·cos(-2π/3)=( косинус четная функция)=cos(π/3)·cos(π/3)·cos(2π/3)=(1/2)·(1/2)·(-1/2) =-(1/8)=-0,125 - наименьшее значение произведения
Answers & Comments
Verified answer
1) f`(x)=(1+cosx)`·sinx+(1+cosx)·(sinx)`=(-sinx)·sinx+(1+cosx)·(cos)=-sin²x+cosx+cos²x==-1+cos²x+cosx+cos²x=2cos²x+cosx-1
Приравниваем производную к нулю:
2cos²x+cosx-1=0
D=1-4·2·(-1)=1+8=9=3²
cosx=(-1-3)/4 или cos x=(-1+3)/4
cosx =- 1 или cos x=1/2
x=π+2πk, k∈Z x=±(π/3)+2πn, n∈Z
Отметим эти точке на отрезке [0;π]
[0]---------(π/3)------------------[π]
Считаем знак на [0;π/3), при х=π/4
f`(π/4)=2·(1/2)+(√2/2)-1=√2/2>0 ставим знак + на [0;π/3)
Считаем знак на (π/3;π], при х=π/2
f`(π/2)=2·(0)+(0)-1=-1<0 ставим знак - на (π/3;π]
Знак производной:
+ -
[0]---------(π/3)------------------[π]
f(x) возр f(x) убывает
π-(π/3)=2π/3
Ответ. 2π/3
2) Находим частные производные:
Р`(x)= - sin x·cos y·cos(x+y) +cos x·cos y·(- sin (x+y)) = - cos y·(sinx·cos(x+y) + cosx·sin (x+y))=
= - cos y ·sin (x + x + y)=- cos y · sin (2x + y)
Р`(y)= cos x·(-sin y)·cos(x+y) +cos x·cos y·(- sin (x+y)) = - cos x·(siny·cos(x+y) + cosy·sin (x+y))=
= - cos x ·sin (y + x + y)=- cos x · sin (x + 2y)
Приравниваем частные производные к нулю, находим стационарные точки
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Система распадается на 4 системы:
Решение первой системы - (π/2 + πk; π/2 + πn) k,n ∈Z
Решение второй системы - ( πk; π/2 + πn) k,n ∈Z
Решение третьей системы - (π/2 + πk; πn) k,n ∈Z
Решение четвертой системы - (π(n-2k)/3 ; π(k-2n)/3 ) k,n ∈Z
Почти во всех точках Р=0
Проверим точку из решений четвертой системы при n=k=1 получим точку
(-π/3; -π/3)
P(-π/3; -π/3)=cos(-π/3)·cos(-π/3)·cos(-2π/3)=( косинус четная функция)=cos(π/3)·cos(π/3)·cos(2π/3)=(1/2)·(1/2)·(-1/2) =-(1/8)=-0,125 - наименьшее значение произведения