Решить уравнение ctg(2x)-ctg(x)=2ctg(4x). Created by iosiffinikov. algebra-ru

Решить уравнение ctg(2x)-ctg(x)=2ctg(4x)...

NNNLLL54

Verified answer

$ctg2x-ctgx=2\, ctg4x\; ,\; \; ODZ:\; sin2x\ne 0,sinx\ne 0,sin4x\ne 0\; \to \; x\ne \frac{\pi n}{4}$

$\frac{cos2x}{sin2x}-\frac{cosx}{sinx}=2\cdot \frac{cos4x}{sin4x}\\\\\frac{sinx\cdot cos2x-cosx\cdot sin2x}{sinx\cdot sin2x}=2\cdot \frac{1-2sin^22x}{2sin2x\cdot cos2x}\; \; (cos2x=1-2sin^2x)\\\\\frac{sin(-x)}{sinx}=\frac{1-2sin^22x}{1-2sin^2x}\; ,\; \; -1\cdot (1-2sin^2x)=1-2sin^22x\\\\2sin^2x-1=1-8sin^2x\cdot cos^2x\\\\2sin^2x+8sin^2x\cdot cos^2x-2=0\, |:2\; \; (1=sin^2x+cos^2x)\\\\4sin^2x\cdot cos^2x-cos^2x=0\\\\cos^2x\cdot (4sin^2x-1)=0\\\\a)\; \; cos^2x=0\; ,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k\notin ODZ\\\\b)\; \; sin^2x=\frac{1}{4}\; ,\; sinx=\pm \frac{1}{2}$

$x_1=(-1)^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n\; \; ili\; \; x_2=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; n,k\in Z\; \Rightarrow \\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi }{6}+\pi n\; ;\; \; x=\frac{5\pi }{6}+\pi k\; ;\; n,k\in Z\; .$

$P.S.\; \; ili\; \; \; sin^2x=\frac{1}{4}\; ,\; \; \frac{1-cos2x}{2}=\frac{1}{4}\; ,\; cos2x=\frac{1}{2}\; ,\\\\2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\; ,\; \; \underline {x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k\; ,\; k\in Z\; -\; otvet}$

3 votes Thanks 3

oganesbagoyan вторая строка: 2ctg4x =(ctg²2x - 1) /ctg2x

oganesbagoyan описка

NNNLLL54 я вижу свою ошибку, могла бы исправить, но нарушение сразу поставили...

iosiffinikov Может, завтра поправите? Спасибо!)

NNNLLL54 поправила, но LaTex два раза не хотел вставлять исправления , а сейчас - каша какая-то вышла...

iosiffinikov Спасибо!

oganesbagoyan

Verified answer

task/29729177 Решить уравнение ctg(2x) - ctg(x) = 2ctg(4x) ----------

ОДЗ : { sin2x ≠ 0 ; sinx ≠ 0 ; sin4x ≠0 . x ≠ πk/4 , k ∈ ℤ .

ctg(2x) - ctg(x) = 2ctg(4x) ⇔ ctg(2x) - 2ctg(4x) = ctg(x) ⇔

ctg(2x) -(ctg²(2x)-1) /ctg2x =ctg(x) ⇔1/ctg(2x)=ctg(x)⇔2ctgx / (ctg²x -1) =ctgx⇔

|| ctgx ≠ 0 || 2 / (ctg²x -1) = 1 ⇔ 2 = ctg²x - 1 ⇔ ctg²x = 3 ⇔ || ctgx = ±√3 ||

(1+cos2x) / (1-cos2x) = 3 ⇔ 1+cos2x =3 - 3cos2x ⇔ cos2x = 1/2 ⇔

2x = ± π/3 + 2πk , k ∈ ℤ .

ответ: x =± π/6 + πk , k ∈ ℤ

3 votes Thanks 1

iosiffinikov Спасибо! Думаю, предпоследняя строчка уже лишняя. Ответ можно писать сразу, когда нашли котангенс.

oganesbagoyan Лишнее бесконечное число комментарии "Я так думаю" ))

Answers & Comments

Verified answer

Verified answer

chto takoe nineviya i assiriya

a2b2a2b22004 najti hotya by odno celochislennoe reshenie otvet naprimer

avs esli izvestno chto eto chislo celoe budu priznatelen esli najdet eshe

kakie est predlogi krome skvoz s myagkim znakom na koncezhelatelno 5

vstavte predlogi 1 jack is really keen playing football and his frien

v treugolnike avs n tochka peresecheniya vysot r radius opisannoj okruzhnosti

neopredelennyj integral ot tgx7

sdelajte uprazhnenie c pozhalujsta ochen proshu

kakim cvetom oboznachayutsya nizmennosti vozvyshennosti i ploskogore

ugol pri vershine m treugolnika mkd raven 60 bissektrisy de i kr peresekayutsya

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social