1) Велосипедист проехал с определенной скоростью путь в 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км\ч. На весь путь туда и обратно он потратил 1 час 10 мин. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города.

Пусть скорость велосипедиста до турбазы - x км/ч, тогда от турбазы до города он ехал со скоростью - (x - 5) км/ч. Составим уравнение:

-7x² + 155x - 300 = 0

7x² - 155x + 300 = 0

x₁ = 15/7

x₂ = 20

15/7 ≈ 2,14 км/ч. Так как за x мы брали скорость до турбазы, а на обратом пути он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем эта, следовательно скорость обратного пути отрицательна, что невозможно. Значит это значение нам не подходит.

Скорость велосипедиста от города до турбазы - 20 км/ч

От турбазы до города:

20 - 5 = 15 км/ч

Ответ: 15 км/ч

2) Бассейн объемом 1м³ заполняется двумя насосами одновременно. Первый насос перекачивает за 1ч на 1м³ больше, чем второй. Найдите время, за которое каждый насос в отдельности может наполнить бассейн, если первому насосу нужно для этого на 5 мин меньше, чем второму.

Пусть второй насос за 1 час наполняет х м³/ч, тогда  первый насос наполнит (х + 1) м³/ч.  Составим уравнение:

x² + x - 12 = 0

D = b² - 4ac = 1 - 4 * 1 * (-12) = 49

x₁ = (-b - √D)/2a = (-1 + 7)/2 = 3

x₂ = (-b + √D)/2a = (-1 - 7)/2 = -4 (значение не подходит)

За час бассейн наполнит 3 м³. 1 м³ в 3 раза меньше, чем 3 м³ ⇒ наполнит насос его за 20 минут.

Первый насос за час наполняет за час 4 м³. Соответственно 1 м³ наполнит за 15 минут.

Ответ: 15 минут и 20 минут

3) Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится заданное число. Найдите это число.    

Пусть количество десятков в нашем числе = x, единиц, соответственно y. Составим уравнения и запишем их в систему:

(x - y)² = 16

x - y = ± 4

х = 4 + у

и

х = у -4

Подставим значение (4 + у) в первое уравнение:

10(4 + у) + у = (4 + у)у + 16

40 + 10у + у = 4у + у² + 16

y² - 7y - 24 = 0

Подставим значение (4 - у) в первое уравнение:

10(у - 4) + у = (у - 4)у + 16

10у - 40 +у = у² - 4y + 16

y² - 15y + 56 = 0

Решим первое уравнение:

y² - 7y - 24 = 0

D = b² - 4ac = 49 - 4 * 1 * (-24) = 145

y₁ = (-b - √D)/2a = (7 - √145)/2

y₂ = (-b + √D)/2a = (7 + √145)/2

Не подходят.

Решим второе уравнение:

y² - 15y + 56 = 0

D = b² - 4ac = 225 - 4 * 1 * 56 = 1

y₁ = (-b - √D)/2a = (15 - 1)/2 = 7

y₂ = (-b + √D)/2a = (15 + 1)/2 = 8

Подставим значения:

x₁ = 7 - 4 = 3

x₂ = 8 - 4 = 4

Наши числа: 37 или 48

Ответ: 37 или 48