Момент пары равен произведению одной из сил на плечо пары. Плечо пары - это восстановленный перпендикуляр из точки приложения одной силы к линии действия другой:
m = +/- F*d
Знак "плюс" будет в том случае, если пара сил приложена к концам отрезка так, что его вращение происходило бы против часовой стрелки. Знак "минус" - наоборот. В данной задаче нам неважно, в какую сторону происходит вращение.
Изначально силы приложены к концам отрезка. То есть, они действуют конкретно на его крайние точки - линии действия сил перпендикулярны отрезку (угол между силой и отрезком равен 90°). Плечо пары d равно длине отрезка L. Момент пары равен:
m = F*d = F*L
Если силы повернуть на угол α по часовой стрелке, то угол между каждой из сил и отрезком будет равен:
β = 90° - α
Плечо пары будет равно произведению длины отрезка и синуса угла между отрезком и линией действия силы:
Пары сил должны действовать в одной и той же плоскости, иначе тело придёт во вращение. Должно выполняться условие:
m + m' = 0 - геометрическая сумма (над величинами должен быть знак вектора)
То есть, одна пара должна вращать тело по часовой, другая - против.
Примем, что пара сил, чей момент равен m', вращает тело по часовой стрелке, тогда для проекций моментов обеих пар на все три оси (x, y z) будет выполняться равенство:
m + (-m') = 0 => m = m'
Следовательно, момент одной пары должен быть равен моменту другой:
F*d = F'*d'
100*0,5 = 400*0,125
50 = 400*125/1000
50 = 4*125/10
50 = 500/10
50 = 50
Ответ: могут, если пары сил будут действовать в одной плоскости, а их моменты будут численно равны друг другу.
Answers & Comments
2) Дано:
L = 1 м
F₁ = F₂ = F = 100 H
α = 60°
m/m' - ?
Решение:
Момент пары равен произведению одной из сил на плечо пары. Плечо пары - это восстановленный перпендикуляр из точки приложения одной силы к линии действия другой:
m = +/- F*d
Знак "плюс" будет в том случае, если пара сил приложена к концам отрезка так, что его вращение происходило бы против часовой стрелки. Знак "минус" - наоборот. В данной задаче нам неважно, в какую сторону происходит вращение.
Изначально силы приложены к концам отрезка. То есть, они действуют конкретно на его крайние точки - линии действия сил перпендикулярны отрезку (угол между силой и отрезком равен 90°). Плечо пары d равно длине отрезка L. Момент пары равен:
m = F*d = F*L
Если силы повернуть на угол α по часовой стрелке, то угол между каждой из сил и отрезком будет равен:
β = 90° - α
Плечо пары будет равно произведению длины отрезка и синуса угла между отрезком и линией действия силы:
d' = L*sinβ = L*sin(90° - α) =>
=> m' = F*d' = F*L*sin(90° - α)
Тогда:
m/m' = (F*L) / (F*L*sin(90° - α)) = 1 / sin(90° - α) = 1 / cosα = 1 / cos60° = 1 / 0,5 = 2, т.е.
m' = m/2 - момент пары уменьшится в 2 раза
m' = F*L/2 = 100*1/2 = 50 Н*м
Ответ: 50 Н*м; уменьшится в 2 раза.
2) Дано:
F = 100 H
d = 0,5 м
F' = 400 H
d' = 12,5 см = 0,125 м
m = m'?
Решение:
Пары сил должны действовать в одной и той же плоскости, иначе тело придёт во вращение. Должно выполняться условие:
m + m' = 0 - геометрическая сумма (над величинами должен быть знак вектора)
То есть, одна пара должна вращать тело по часовой, другая - против.
Примем, что пара сил, чей момент равен m', вращает тело по часовой стрелке, тогда для проекций моментов обеих пар на все три оси (x, y z) будет выполняться равенство:
m + (-m') = 0 => m = m'
Следовательно, момент одной пары должен быть равен моменту другой:
F*d = F'*d'
100*0,5 = 400*0,125
50 = 400*125/1000
50 = 4*125/10
50 = 500/10
50 = 50
Ответ: могут, если пары сил будут действовать в одной плоскости, а их моменты будут численно равны друг другу.