1) Область определения: { x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5) =/= 0 { 36-x^2 = (6+x)(6-x) > 0 x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6) Дробь < 0, значит, среди скобок нечетное количество отрицательных. При этом √(36 - x^2) > 0 при любых допустимых х, потому что корень арифметический, то есть неотрицательный. Скобка x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1 > 0 при любом х. Корень и эту скобку можно убрать. Получаем систему: { x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6) { Разложим на множители: { x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6) { По методу интервалов x ∈ (-5; -1) U (1; 4)
2) Область определения логарифма x > 1; x =/= 2 Скобка x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 при x = 3 и > 0 при всех остальных х. На нее можно разделить, но отметить, что x = 3 - решение. Получаем Возможны две системы: а) { 2^x - 2^4 <= 0 { log_5 (x-1) < 0 Получаем { x > 1 { x < 4 { x < 2 x1 ∈ (1; 2) б) { 2^x - 2^4 >= 0 { log_5 (x-1) > 0 Получаем { x > 1 { x >= 4 { x > 2 x2 ∈ [4; +oo) И еще надо не забыть решение - число 3. Ответ: x ∈ (1; 2) U {3} U [4; +oo)
3) Область определения { x^2 - 1 >= 0 { 13 - x > 0 x ∈ (-oo; -1) U (1; 13) При этом при любом х, поэтому на него можно сократить Возможны две системы: а) { x ∈ (-oo; -1) U (1; 13) { x - 5 < 0 { log_5 (13 - x) > 0 Получаем { x ∈ (-oo; -1) U (1; 13) { x < 5 { 13 - x > 1; x < 12 x1 ∈ (-oo; -1) U (1; 5)
б) { x ∈ (-oo; -1) U (1; 13) { x - 5 > 0 { log_5 (13 - x) < 0 Получаем { x ∈ (-oo; -1) U (1; 13) { x > 5 { 13 - x < 1; x > 12 x2 ∈ (12; 13) Ответ: x1 ∈ (-oo; -1) U (1; 5) U (12; 13)
Answers & Comments
Verified answer
1)Область определения:
{ x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5) =/= 0
{ 36-x^2 = (6+x)(6-x) > 0
x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6)
Дробь < 0, значит, среди скобок нечетное количество отрицательных.
При этом √(36 - x^2) > 0 при любых допустимых х, потому что корень арифметический, то есть неотрицательный.
Скобка x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1 > 0 при любом х.
Корень и эту скобку можно убрать.
Получаем систему:
{ x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6)
{
Разложим на множители:
{ x ∈ (-6; -5) U (-5; -1) U (-1; 6)
{
По методу интервалов
x ∈ (-5; -1) U (1; 4)
2)
Область определения логарифма
x > 1; x =/= 2
Скобка x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 при x = 3 и > 0 при всех остальных х.
На нее можно разделить, но отметить, что x = 3 - решение.
Получаем
Возможны две системы:
а)
{ 2^x - 2^4 <= 0
{ log_5 (x-1) < 0
Получаем
{ x > 1
{ x < 4
{ x < 2
x1 ∈ (1; 2)
б)
{ 2^x - 2^4 >= 0
{ log_5 (x-1) > 0
Получаем
{ x > 1
{ x >= 4
{ x > 2
x2 ∈ [4; +oo)
И еще надо не забыть решение - число 3.
Ответ: x ∈ (1; 2) U {3} U [4; +oo)
3)
Область определения
{ x^2 - 1 >= 0
{ 13 - x > 0
x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
При этом
Возможны две системы:
а)
{ x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
{ x - 5 < 0
{ log_5 (13 - x) > 0
Получаем
{ x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
{ x < 5
{ 13 - x > 1; x < 12
x1 ∈ (-oo; -1) U (1; 5)
б)
{ x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
{ x - 5 > 0
{ log_5 (13 - x) < 0
Получаем
{ x ∈ (-oo; -1) U (1; 13)
{ x > 5
{ 13 - x < 1; x > 12
x2 ∈ (12; 13)
Ответ: x1 ∈ (-oo; -1) U (1; 5) U (12; 13)