Verified answer

1) Так как треугольник  AFB  правильный то есть,  углы у него равны 180/3=60 гр,  найдем наш искомую сторону по теореме косинусов , так как еще квадрат      АВСД , у  него  все  уголы  равны 90 гр,  значит   угол   FAC = 90+60=150   гр 

    FC^2    =    AF ^2     +  AC^2  -2AF*AC*cosa 

    FC^2    =  2*(√6)^2-2*√6^2  *  cos 150

    FC^2    =  12+ 12* √3/2

    FC^2    =  12+6√3

    FC        =  √12+6√3   =  √9+3+6√3    =      √(3+√3)^2   = 3+√3

2)  

 Как известно площадь ромба находиться  по формуле S=(d1*d2)/2 ,  или иными словами полупроизведения     диагоналей ,  то есть нам надо найти вторую диагональ,   по свойству Ромба ,  диагонали являються биссектрисами  вершиных углов ,  и в  точке пересечения диагоналей деляться пополам ,      теперь найдем    вторую диагональ по теореме Синусов  ,   для начало  поделим  пополам  первую диагональ  d*3^(1/4)/2 , 

 теперь :

d*3^(1/4)/sin60  =  x/sin30       (где   х вторая диагональ)

 x =   d*3^(1/4)/2*√3

 теперь   ставим    в формулу    S=d1*d2/2     = (d*3^(1/4))*((d*3^(1/4))/2*√3)  /2     =d^2/2 

3) 

S=d1*d2/2 = 16

√(d1/2)^2+(d1/2)^2 = 3         (так как сторона  одна равна 12/4=3)

d1^2+d2^2=36

(d1+d2)^2-2d1*d2=36

(d1+d2)^2-2*32=36

(d1+d2)^2=100

d1+d2=10 

4) Тогда другой угол равен  60 гр ,  теперь зная углы можно найти   вторую диагональ по 120 гр  которая лежит ,  найдем стороны  ромба , по теореме косинусов 

8*3^(1/4)^2 = 2*x^2+2x^2*cos60

x=8/ 3^(1/4)  -  то есть сторона равна   вот такой величине

теперь найдем вторую диагональ ,  опять же по теореме  косинусов   

d2^2=(8/3^(1/4)^2-2* (8/3^(1/4)^2*cos120 

d2=√(128)   /   3^(1/4)

S=  d1*d2/2     =     (8*3^(1/4))   *  (√(128)   /   3^(1/4))  /2   =   √2048